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奇异积分中几类经典算子及其相关算子的若干问题

陈冬香  
【摘要】:本文主要研究的是Marcinkiewicz积分,奇异积分和分数次积分及其交换子的有界性问题。全文共六章,首先我们简单回顾历史研究这些算子的背景和相关的方法,从而提出本文要考虑的问题。 1 Marcinkiewicz积分和Marcikiewicz积分交换子 1.1 Marcinkiewicz积分 众所周知Littlewood-Paley g函数,g_λ~*函数及Lusin面积S函数在调和分析和偏微分方程等领域起着非常重要的作用,1938年,J.Marcinkiewicz考虑如下Marcinkiewicz积分算子: μ(f)(x)=(integral from n=0 to 2π(|F(x+t)+F(x-t)-2F(x)|~2/t~3)dt)~(1/2),x∈[0,2π]其中F(x)=∫_0~xf(t)dt.1958年,Stein把Marcinkiewicz积分推广到高维情形,设Ω是零次齐次并且满足如下Lipα(0<α≤1)条件:即,设Ω是R~n中的单位球面Σ上的连续函数并且满足 |Ω(x′)-Ω(y′)|≤C|x′-y′|~α,(?)x′,y′∈∑,又设Ω满足消失性条件 ∫_(S~(n-1))Ω(x′)dσ(x′)=0.(1.1.1) 定义高维Marcinkiewicz积分算子为 μΩ(f)(x)=(integral from n=0 to ∞(|F_(Ω,t)(f)(x)|~2/t~3)dt)~(1/2),其中 F_(Ω,t)(f)(x)=∫_(|x-y|≤t)(Ω(x-y)/|x-y|~(n-1))f(y)dy.Stein证明了当Ω满足Lipα条件时,μΩ是L~p有界(1≤p≤2)并且也是弱(1,1)型,自Stein的开创性工作后,关于Marcinkiewicz积分,特别是具有粗糙核的Marcinkiewicz算子的研究,涌现一大批著名的结果,详见[10]-[l3],[27],[28],[33],[38]等等。


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