奇异积分中几类经典算子及其相关算子的若干问题

【摘要】：本文主要研究的是Marcinkiewicz积分，奇异积分和分数次积分及其交换子的有界性问题。全文共六章，首先我们简单回顾历史研究这些算子的背景和相关的方法，从而提出本文要考虑的问题。 1 Marcinkiewicz积分和Marcikiewicz积分交换子 1．1 Marcinkiewicz积分 众所周知Littlewood-Paley g函数，g_λ~*函数及Lusin面积S函数在调和分析和偏微分方程等领域起着非常重要的作用，1938年，J．Marcinkiewicz考虑如下Marcinkiewicz积分算子： μ(f)(x)=(integral from n=0 to 2π(|F(x+t)+F(x-t)-2F(x)|~2／t~3)dt)~(1／2)，x∈[0，2π]其中F(x)=∫_0~xf(t)dt．1958年，Stein把Marcinkiewicz积分推广到高维情形，设Ω是零次齐次并且满足如下Lipα(0＜α≤1)条件：即，设Ω是R~n中的单位球面Σ上的连续函数并且满足 |Ω(x′)-Ω(y′)|≤C|x′-y′|~α，(?)x′，y′∈∑，又设Ω满足消失性条件 ∫_(S~(n-1))Ω(x′)dσ(x′)=0．(1．1．1) 定义高维Marcinkiewicz积分算子为 μΩ(f)(x)=(integral from n=0 to ∞(|F_(Ω，t)(f)(x)|~2／t~3)dt)~(1／2)，其中 F_(Ω，t)(f)(x)=∫_(|x-y|≤t)(Ω(x-y)／|x-y|~(n-1))f(y)dy．Stein证明了当Ω满足Lipα条件时，μΩ是L~p有界(1≤p≤2)并且也是弱(1，1)型，自Stein的开创性工作后，关于Marcinkiewicz积分，特别是具有粗糙核的Marcinkiewicz算子的研究，涌现一大批著名的结果，详见[10]-[l3]，[27]，[28]，[33]，[38]等等。