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关于Euler-Poisson方程组和Euler方程组的渐近性研究

徐江  
【摘要】: 本文概述了半导体器件模型的分类及近期发展,重点探讨了半导体模型中的Euler-Poisson方程组(也称经典的流体动力学模型)和一类带阻尼项的可压型Euler方程组在平衡态附近的扰动问题。基于Littlewood-Paley分解和仿微分演算的技术,我们降低了初值所在空间的正则性,进而改进了在Sobolev空间中已有的一些结果。在Besov空间的框架下,相应地,我们建立了经典解的整体存在性,唯一性和稳定性,并进一步考察了流体旋度随时间的发展情况。在此适定性结果的基础上,相关的驰豫极限问题也被考虑。 略微具体地说,我们研究了三个问题,分别将其放入本文的第三章,第四章以及第五章。 在第三章中,作为研究的出发点,我们首先考虑了半导体模型中的高维简化(等熵或等热情形)Euler-Poisson方程组(1.2.2)的柯西问题,当初值在平衡态附近扰动时,建立了该问题经典解的整体存在性,唯一性和指数稳定性。过去十年里,在光滑解的适定性以及稳定性方面,许多学者关于Euler-Poisson方程组的柯西问题和初边值问题分别在一维空间或高维空间中已做了不少的结果,这些结果基本上是在Sobolev空间H~l(R~d)的框架下得到的。由于人们借助于经典分析方法的缘故,导致空间的正则性要求相当高(l>1+d/2,l∈Z)。在本章中,我们将研究指标的极限情形l=1+d/2。在这种情形下,关于Kato的经典局部存在性理论就不适用了,我们所选取的工作空间是一类Besov空间B_(2,1)~(1+d/2)(R~d),而不再是H~(1+d/2)(R~d)。第一步,利用正则化手段和紧性方法,我们证明了该方程组的柯西问题在一般初值下经典解的局部存在性和唯一性。尽管主要的思路是将原系统转化为一个对称双曲系统来处理,但一些来于Poisson方程的具体内容仍需要考虑。在经典解的局部存在性基础上,第二步,当初值在平衡态附近扰动时,我们证得了经典解的整体存在性和指数衰减性。所用的证明方法是高低频分解方法。在证明中,我们获悉了驰豫项仅对解的整体存在性起作用;同时也理解了Poisson方程在低频估计过程中所起的关键作用,此作用导致了经典解的指数衰减性。这里,我们没有对方程组解假设任何几何结构,进而,在整体解的基础上,在Besov空间中我们刻画了旋度随时间发展呈指数性衰减。 依照类似的过程,我们把结果推广到完整的流体动力学模型(1.2.1)零热传导情形。除了更加繁琐的计算外,在谱局部化过程中,一些新的困难会出现。幸运的是,我们发掘了隐藏在质量守恒方程以及能量守恒方程中的信息,最终帮助我们克服了这些困难。简明起见,我们仅陈述相关的结果,详细的证明见[24]。这些结果可以认为是Hsiao[38]和Alì[1]等人成果的改进。 在第四章中,我们在Besov空间框架下研究了带阻尼项的高维可压型Euler方程组的柯西问题。与半导体中的简化流体动力学模型相比,方程组少了关于静电势耦合的Poisson方程。在本章中,我们仍然考虑系统在平衡态附近的扰动问题。基于第三章局部存在性定理的证明,类似地,我们可获得带阻尼项的可压型Euler方程组的柯西问题经典解的局部存在性和唯一性,此时空间维数可包含一维情形。因低频估计的差异,为了确保经典解的整体存在性,我们需要选取比B_(2,1)~(1+d/2)(R~d)更强的空间B_(2,2)~(1+d/2+ε)(R~d)(ε>0)。由于技巧上的缘故,我们要限制空间维数d≥3。作为直接的推论,我们证明了当时间t→∞时,经典解在某Besov空间中趋向于平衡态的渐近行为。最后,同样也刻画了旋度随时间发展的指数衰减性。这些结果可以视为Sideris[75]等人成果的改进。 在第五章中,我们观察了方程组解关于驰豫时间τ的大时间尺度变换的一个有趣现象。对于半导体模型中的等热Euler-Poisson方程组,我们进一步精细了第三章中的先验估计,使得整体存在性定理中的一些常数不依赖于τ,然后利用弱收敛方法和紧性方法,即得零驰豫时间极限:以τ作为时间尺度变换后的经典解强收敛到漂移扩散模型(5.1.6)的解。作为副产品,我们获得了高维漂移扩散模型弱解的整体存在性。关于等熵Euler-Poisson方程组,我们在空间B_(2,2)~(1+d/2+ε)(R~d)(ε>0)中可建立相应的驰豫极限结果。沿着类似的步骤,我们也考查了带阻尼项的高维可压型Euler方程组(包含等熵和等热两种情形)的驰豫极限问题,证明了Euler方程组的经典解会趋向于介质方程(5.2.7)的解。对于其中的等热情形,我们提供另一种证明方法,而所得的驰豫极限结果是一致的。


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