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某些奇异积分算子的研究

尤英  
【摘要】: 本文分为四章。 在第一章中,我们研究了单位球面上的面积积分函数和非切向极大函数的L~p有界性;另外,我们还研究了乘积球面上的面积积分函数和非切向极大函数的L~p有界性问题。 第二章我们研究了一类带粗糙核且含有震荡因子的超奇异积分算子和Marcinkiewicz积分算子的奇次Sobolev空间L_γ~p到L~p空间的有界性问题。该有界性问题不仅包含了经典奇异积分算子的某些有界性,而且还推广了最近的一些带震荡因子的奇异积分算子的有界性问题。 在第三章中,我们研究了在一般非双倍测度μ下,由RBMO(μ)函数生成的k阶Calderón-Zygmud交换子的L~p有界性问题。在该问题中,我们适当地减弱了已有的C-Z核的正则性条件。 在第四章中,我们定义了一类新的权函数(?)_p(R~n),它包含在经典的A_p(R~n)权中。然后证明了此类权函数也具有和A_p权一样的对偶性、反H(?)lder不等式和分解定理等重要性质。另外,对某些粗糙核的奇异积分算子及极大函数,给出了它们关于上述(?)_p权的加权不等式及相应的一些向量值不等式。 0.1单位球面及乘积球面上的面积积分函数和非切向极大函数 记B~n={z∈R~n∶|z|<1)为欧氏空间R~n(n≥2)上的单位球,S~(n-1)是它的边界,即S~(n-1)={w′∈R~n∶|w′|=1)。L~p(S~(n-1))定义为S~(n-1)上的p次可积函数空间,‖f‖_p=(∫_(S~(n-1))|f(w′)|~pdw′)~(1/p),其中dw′表示S~(n-1)上的面积元。设z∈B~n,x′的函数 P_z(x′)=(1-|z|~2)/(|z-x′|~n) 是单位球面S~(n-1)上的Poisson核(在本章中,|z-x′|表示R~n上两点间的距离)。 设C~k(S~n)为S~n上k次连续可微函数的全体, 定义0.1.[5]记G(S~n)=∩_(k=0)~∞C~k(S~n),其对偶为G*(S~n),若f∈G*(S~n),则称f为定义在球面上的分布。 显然,P_z(x′)∈G(S~n)。对分布f,u(z)=f,P_z是B~n上的调和函数,称为f的Poisson积分。 设u是B~n上的调和函数,u的非切向极大函数和面积积分函数分别定义为: 其中Γ_α(x′)是点x′∈S~(n-1)和球{z∈B~n∶|z|<sinα}形成的凸包,0<α<π/2。我们证明了 定理0.1.设f∈G*(S~(n-1)),u(z)是f的Poisson积分,0<α,β<π/2,则对任意的0<p<∞, 其中正常数C_1和C_2仅与n、p、α和β有关。 接下来我们给出一些符号的定义。记(?)=(x_1,x_2)∈B~n×B~m=(?),(?)=(x′_1,x′_2)∈S~(n-1)×S~(m-1)=(?),(?)=▽_1×▽_2和P_(?)=P_(y1)P_(y2),其中▽_1和▽_2分别表示B~n和B~m上的梯度算子。类似于G*(S~(n-1))可定义(?)~*((?))。对分布f∈G*((?)),记u((?))=P_(?),f,称为f的二重Poisson积分。易知u((?))是乘积空间(?)上的调和函数,即Δ_1u=Δ_2u=0,其中Δ_1和Δ_2分别表示B~n和B~m上Laplace算子。 设u是(?)上的调和函数,令(?)=(α_1,α_2),Γ_(?)((?))=Γ_(α1)(x′_1)×Γ_(α2)(x′_2),我们引入u的非切向极大函数和面积积分函数 则有 定理0.2.设f∈G*((?)),u是f的二重Poisson积分,(?),(?)∈(0,π/2)~2,则对任意0<p<∞, 其中C只依赖于n、m、p、(?)和(?)。 0.2带震荡因子的粗糙超奇异积分算子 如果Ω∈G*(S~(n-1))(定义见第一章)满足 则称Ω满足消失性条件,其中,表示S~(n-1)上的内积,Y_m为m次球面调和多项式,m≤[γ]([·]表示取最大整数部分),γ=(n-1)/(r~(-1)-1)。 定义0.2.[5]设f∈G*(S~(n-1)),对任意的z∈B~n,u(z)=f(x′),P_z(x′),令 则对0<p<∞,单位球面上的Hardy空间H~p(S~(n-1))定义为 其中 定义0.3.[5]设α>0,k≥α,Lipschitz空间Λ~α(S~(n-1))定义为 其中 由文献[5]知,(H~q(S~(n-1)))*=Λ~α(S~(n-1)),α=(n-1)(1/q-1)。 径向函数Φ∈C~∞(R~n),满足supp(Φ)(?){x∈R~n∶1/2|x|≤2),0≤Φ(x)≤1,且当3/5≤|x|≤5/3时,Φ(x)>c>0。设Φ_j(x)=Φ(2~jx),取满足(?)_k(ξ)=Φ_k(ξ)的函数Ψ_k,使得(?)(ξ)=(?)(ξ)Φ_k(ξ)。 定义0.4.[7]设1<p<∞,α∈R,齐次Sobolev空间L_α~p(R~n)定义为 其中 下面分别给出定义在Schwartz空间S(R~n)上的Marcinkiewicz积分算子μ_(Ω,α)和奇异积分算子T_(Ω,α)的表达式 其中 f_(x,t)(y′)=f(x-ty′),t=|y|,y′=y/|y|,b(s,t)是乘积空间R~+×R上的有界函数。因为当f∈S(R~n)时,f_(x,t)(y′)∈Λ~α(S~(n-1))(参见文献[7]附录),因此上述定义是合理的。若在(10)中令b(s,2~t)=h(s)_(χ(1/2,1))(s2~(-t)),其中h(s)是L~∞函数,那么,很容易验证,在相差一个常数的意义下,(9)式可化为 当α=0时,T_(Ω,α)f(x)就是经典奇异积分算子。关于算子T_(Ω,α)f(x)的研究,可参见文献[12,17,18,19,22,23,24,25,26,29,37,39]等。当α≥0时,陈大宁、丁勇和范大山在文献[4]中给出了如下定理: 定理A设r=(n-1)/(n-1+α)(α≥0),Ω∈H~r(S~(n-1))满足消失性条件(7),其中m≤[α]。若f∈S(R~n),则当1<p<∞时,有 成立,其中L_α~p(R~n)表示齐次Sobolev空间,常数C与f和Ω无关。 既然震荡因子e~(it~(-β))与Bochner-Riesz算子(参见[44])有着密切的关系,自然要去考虑当核含有震荡因子时的上述算子。近来,陈大宁、范大山和H.V.Le在文献[11]中考虑了这样一类算子且得到了下述结论: 定理B设r=(n-1)/(n-1+γ)(γ≥0),Ω∈H~r(S~(n-1))且满足消失性条件(7),其中m≤[α]。则当β/(β+γ-α)b<p<β/(α-γ)时,有 ‖Τ_(Ω,α)f‖_(L~p(R~n))≤C‖Ω‖_(H~r(S~(n-1)))‖f‖_(L_α~p(R~n)) (13)成立,其中β>2(α-γ)≥0和0<γ≤α。 问题:定理B中p的范围是否可以扩大?对于带震荡因子e~(i|y|~(-β))的Marcinkiewicz积分算子是否也有类似于定理B的结论? 因此我们考虑如下的超奇异积分算子: J_(Ω,α)(f)(x)=∫_R2~(-tα)e~(i2-tβ)F_(Ω,t)(f)(x)dt (14) (?)_(Ω,α)(f)(x)=|∫_R2~(-2tα)e~(i2~(-tβ+1))|F_(Ω,t)(f)(x)|~2dt|~(1/2) (15)且对上面的问题给出了肯定的回答: 定理0.3.设r=(n-1)/(n-1+γ)(γ>0),Ω∈H~r(S~(n-1)且满足消失性条件(7),其中m≤[γ]。若对任意的t∈[1/2,2],R~+×R上有界函数b(s,t)满足∫_0~2|(?)b(s,t)|ds≤C,则当2β/(2β+γ-α)<p<2β/(α-γ)时,有 ‖J_(Ω,α)f‖_(L~P(R~n))≤C‖Ω‖_(H~r(S~(n-1)))‖f‖_(L_γ~p(R~n)) (16)成立,其中β>α-γ≥0,0<,γ≤α。 定理0.4.若Ω和b(s,t)满足定理0.5中的条件,则对β/(β+γ-α)<p<β/(α-γ),有 ‖(?)_(Ω,α)f‖_(L~P(R~n))≤C‖Ω‖_(H~r(S~(n-1)))‖f‖_(L_γ~p(R~n)) (17)成立,其中β>2(α-γ)≥0,0<γ≤α。 注:在定理0.5和定理0.6的证明中,我们仅用了Van de Corput引理中k=1的情形。这不但简化了定理B的证明,而且还扩大了p的范围。 0.3非双倍测度下的k阶Calderón-Zygmund交换子 给定R~d上一非负Radon测度μ,且满足线性增长型条件: μ(B(x,r))≤Cr~n,x∈R~d,r>0 (18)这里n是一个不大于d的固定正数,B(x,r)是以x为中心r为半径的球,C为常数。 测度μ的双倍条件,即μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))((?)x∈R~d,r>0),在古典Calderón-Zygmund理论的绝大多数结论中都是必要条件。后来在研究Painlevé问题的时候发现要处理带非双倍测度的复平面上的Cauchy积分的L~2有界性,最近十年来人们又逐渐发现只要对测度μ要求尺度条件(18),那么即使没有双倍条件,Calderón-Zygmund理论中很大一部分经典结果仍然是成立的,例如奇异积分算子的各种有界性,T1定理以及Tb定理,相应的工作可参见[33,34,35,36,46,47,48,49,50,51]。 定义0.5.设K(x,y)是R~d×R~d\{(x,y):x=y}上的局部可积函数,如果满足 |K(x,y)|≤C/(|x-y|~n) (19)及存在0<δ≤1,使得当|x-x′|≤|x-y|/2时, |K(x,y)-K(x′,y)|+|K(y,x)-K(y,x′)|≤C((|x-x′|~δ)/(|x-y|~(n+δ))) (20)我们称之为Calderón-Zygmund核。 由核K(·,·)和测度μ,定义Calderón-Zygmund算子(CZO(μ))(至少是形式上的)为 Tf(x)=∫K(x,y)f(y)dμ(y).对大部分函数f而言,由于核K沿x=y的奇性,上述积分可能是不收敛的。由于这个原因,需要引进截断算子T_∈,∈>0: T_∈f(x)=∫_(|x-y|>∈)K(x,y)f(y)dμ(y).如果截断算子满足‖T_∈f‖_p≤C‖f‖_p,我们称T是L~p(μ)有界的,其中C是一个与∈无关的常数。 给定方体Q(?)R~d,令N为使得2~NQ为双倍方体(满足倍测度条件的方体)的最小非负整数,将2~NQ记为(?)。 定义0.6.[46]设ρ>1为某一给定常数f∈L_(loc)~1(μ),如果存在某个常数C_3使得对任意的方体Q(中心在μ的支集),有 1/(μ(ρQ))∫_Q|f-m_(?)f|dμ≤C_3,(21)及对R~d中任意两个双倍方体Q(?)R,有 |m_Qf-m_Rf|≤C_K_(Q,R),(22)成立,其中 K_(Q,R)=1+(?)((μ(2~kQ)/(ι~n(2~kQ))),N_(Q,R)是第一个使ι(2~kQ)≥ι(R)的整数k。则称f是RBMO(μ)函数。记min C_3=‖f‖RBMO(μ)。 给定b∈RBMO(μ),我们可以通过下述迭代来定义T的k阶交换子 T_(b,k)f(x)=[b(x),T_(b,k-1)]f(x),T_(b,o)f(x)=Tf(x).在文献[46]中,Tolsa证明了如果T是CZO(μ)算子,且L~2(μ)有界,b∈RBMO(μ),则交换子[b,T]在L~p(μ)上有界,且对任意的函数f∈L~p(μ),有‖[b,T]f‖_(L~p(μ))≤C‖b‖_(RBMO(μ))‖f‖_(L~p(μ))。在文献[30]中,胡、孟和杨概括了Tolsa的结论,证明了若T是L~2(μ)有界的,则对任意的正整数k,当1<p<∞时,T_(b,k)在L~p(μ)上有界,且对任意的函数f∈L~p(μ),有‖T_(b,k)f‖_(L~p(μ))≤C‖b‖_(RBMO(μ)~k‖f‖_(L~p(μ))。本文将证明如果我们把正则性条件(20)放宽到对任意方体Q(?)R~d,对y,y′∈Q及某个1<r<∞满足 其中ρ>1,T在L~2(μ)上有界,那么仍旧可以证明对任意的1<p<∞,T_(b,k)在L~p(μ)上有界。主要结果如下: 定理0.5.设k为正整数,K(x,y)是定义在R~d×R~d\{x=y}上的局部可积函数,且满足(19)和(23),T是CZO(μ)算子。若T在L~2(μ)上有界,则对任意的b∈RBMO(μ)和f∈L~p(μ),有 ‖T_(b,k)f(x)‖_(L~p(μ))≤C‖b‖_(RBMO(μ)~k‖f‖_(L~p(μ)).注1.显然,条件(23)比条件(20)弱;当k=1时,胡,孟和杨[31]证明了若对任意的R>0和y,y′∈R~d,|y-y′|<R,K满足 则T_b在L~p(μ)上有界。很明显,若我们在(23)式中取r=1,那么(23)要比(23′)弱。不幸的是,用本文的方法,在(23)式中我们不能取到r=1。 0.4奇异积分算子的加权模不等式 对于核函数Ω∈L~1(S~(n-1))满足较好光滑性条件的奇异积分算子 Tf(x)=P.V.∫_(R~n)(Ω(y′))/(|y|~n))f(x-y)dy,其加权不等式是已知的,即,对ω(x)∈A_p(R~n), ∫_(R~n)Tf(x)|~pω(x)dx≤C∫_(R~n)|f(x)|~pω(x)dx (24)参见文献[2]及[42]的第五章。 不仅A_p权函数类具有一系列很好的性质,而且奇异积分算子的加权模不等式也有广泛的用途。但是,如果我们把核函数粗糙化,比如仅满足Ω(y)∈L~r(S~(n-1))时,如果仍考虑A_p权,所得到的加权不等式并不理想。David K.Watson在[52]中证明:对于Ω∈L~r,(24)式仅在r′≤p<∞时对ω(x)∈A_(p/r′)成立。鉴于这个原因,我们希望找到新的权函数类,使得它仍保留A_p权的种种性质,并能让更多的奇异积分算子满足加权不等式。权函数常常由某类极大函数定义,比如经典的A_p(R~n)权是使得 ∫_(R~n)|Mf(x)|~pω(x)dx≤C∫_(R~n|f(x)|~pω(x)dx (25)成立的所有非负可测函数ω(x)全体,其中M是H-L极大函数。Watson利用 M_μf(x)=(?)|f*μ_j(x)|定义了一类A_p(M_μ)权,见[53],其中{μ_j}_j为R~n上一族波雷尔测度,特别地,应用在奇异积分算子上时可取 μ_j(x)=(Ω(x′))/(|x|~n)X{2~j<|x|≤2~(j+1)},对于这样定义的ω(x)∈A_p(M_Ω),Watson证明:只要Ω∈L~r(S~(n-1)),r>1,相应的奇异积分算子满足 ∫_(R~n)|Tf(x)|~pω(x)dx≤C∫_(R~n)|f(x)|~pω(x)dx.Duoandikoetxea引入了一类径向权A_p(R~n),见[20]。定义ω∈(?)_p(R~n)当且仅当ω(x)=v_1(|x|)v_2~(1-p)(|x|),其中v_i∈A_1(RR+)是递减函数,或v_i~2∈A_1(R~+),i=1,2。此定义是根据A_p权的分解定理给出的。用这类权作者证明:对于奇核,只要Ω∈L~1(S~(n-1)),对于偶核,Ω∈L~r(S~(n-1)),r>1,则相应的奇异积分算子满足加权不等式(24)。 受文献[20]的启发,我们引进一类新的权函数(?)_p,其范围小于A_p权,但包含了上述径向权(?)_p。我们将看到,这类权和A_p权有很多相同的性质,并且对于某些极大函数及奇异积分算子,相应的加权不等式有与A_p权时相同的形式。 在第四章的第二节中,我们将说明权函数(?)_p仍然具有对偶性、反(?)lder不等式,不过对于分解定理我们还无法证明它完全成立,但仍有以下反过来的结果。 命题0.6.设v_1(x),v_2(x)∈(?)_1(R~n),则ω=v_1V_2~(1-p)∈(?)_p(R~n)。 然后,我们证明了下列加权不等式 定理0.7.设核函数Ω(y′)满足∫_(S~(n-1))Ω(y′)dσ(y′)=0及下列任意一条:(ⅰ)Ω(y′)∈L~1(S~(n-1))且为奇函数;(ⅱ)Ω(y′)∈L~q(S~(n-1)),q>1且它是偶函数。则对任意ω(x)∈(?)_p(R~n),存在常数C(ω,p,Ω),使得以Ω(y′)为核函数的奇异积分算子T满足 ∫_(R~n)|Tf(x)|~pω(x)dx≤∫_(R~n)|f(x)|~pω(x)dx.(26) 考虑如下形式的算子S: Sf(x)=∫_(S~(n-1)Ω(y′)R_(y′)f(x)dσ(y′),其中R_(y′),由某一维算子R所定义,有 定理0.8.设Ω(y′)∈L~1(S~(n-1)),若对某指标r≥1及任意ω(t)∈A_r(R~1)均有 ∫_(R~1)|Rg(t)|~rω(t)dt≤C_(r,ω)∫_(R~1)|f(t)|~rω(t)dt,则相应的向量值不等式 ∫_(R~n)‖Sf_j(x)‖_(ι~r)~pω(x)dx≤C_(p,r,ω)‖Ω‖L~1∫_(R~n)‖f_j(x)‖_(ι~r)~pω(x)dx对任意指标1<p<∞及ω(x)∈(?)_p(R~n)都成立。


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