样条曲线曲面的造型与形状调整的研究
【摘要】：
本文围绕着CAGD中常用的几种曲线曲面造型和形状调整进行了深入的研究，主要获得了以下一些成果：
首先，证明了代数三角空间中的n次均匀C-B-spline基是一组标准全正基，并进一步扩充为一组标准B基．C-B-spline基与C-Bézier基是多项式与三角混合空间中的两组基，是适应工程实践中设计特殊曲线曲面的需要而产生的，类似于多项式空间中的B-spline基与Bézier基，是CAGD中重要的造型工具。本文用递推的方法，计算出代数三角空间中的n次C-Bézier基与n次均匀C-B-spline基之间的转换矩阵，并把该矩阵分解为一系列二对角阵的乘积，从而证明出n次均匀C-B-spline基是一个标准全正基，进一步用插入节点的方法，把它扩充为一组标准B基，从而我们可以利用B基的很多优良性质，在工程应用中对这两组基进行开发利用。
其次，发现了上述C-曲线随形状因子α变化时产生的α-路径，可以近似的线性化，而且拥有一些很好的性质，从而可以把C-曲线的一些非线性问题线性化。这里’路径’指的是α变动时曲线上的点所经过的运动轨迹。我们依靠关系参数和线性逼近方法对路径进行了研究，并且把相关结果用于C-曲线的形状控制与调整，收到了很好的效果。
再次，指出了B样条曲线和曲面当节点发生改变的时候，形成的包络曲线曲面的性质和点的收敛情况，并利用曲线包络的性质和改变节点的方法，对NURBS曲线进行了几种形状调整。变动k阶B样条曲线的一个a重节点，所得曲线族的包络恰好是一条由同一控制多边形定义的k-a阶B样条曲线，且二者保持若干阶切触。这个结论可以类似的推广到NURBS曲线和张量积曲面上来。而如果对称的改变曲线曲面上的若干个节点，曲线曲面上的点会收敛到控制网格所确定的一个特定点上。本文运用以上有关理论成果，提出了建立在修改节点基础上的几种NURBS形状控制方法。其结果可以作为计算机辅助设计系统中曲线面造型和形状修改的理论参考，从而大大增加了曲线面造型和形状修改的方法，具有实用价值。
最后，通过区间曲线曲面的性质和三角域上的Bernstein样条函数，重心坐标的概念，实现了有理曲线／曲面的近似隐式化。可以用一个低阶多项式隐式曲线／曲面来逼近所给的参数式有理曲线／曲面，同时使一些目标函数最小化，减少了需要解的方程组的维数，降低了计算量，改进了计算精度和速度。该区间隐式曲线／曲面的中心曲线／曲面可以近似逼近有理曲线／曲面，其逼近的误差可以利用区间隐式曲线／曲面的区间宽度进行估计。
【关键词】：B基 标准全正基 B样条曲线曲面 NURBS曲线曲面 改变节点 包络 路径 形状修改 区间曲线曲面 隐式曲线 区间隐式曲线曲面 区间隐式化 有理曲面 区间算术 【学位授予单位】：浙江大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2007
【分类号】：O187.1
【DOI】：CNKI:CDMD:1.2007.184285
【目录】：
- 摘要3-5
- Abstract5-7
- 目录7-12
- 第一章 绪论12-24
- 1.1 参数曲线曲面造型技术12-14
- 1.2 隐式曲线曲面造型技术14-16
- 1.3 混合形式的样条曲线曲面造型16-19
- 1.4 曲面重建与简化19-22
- 1.5 本文主要研究工作22-24
- 第二章 C-样条的最优保形性24-42
- 2.1 引言24-25
- 2.2 几种常用的造型曲线25-29
- 2.3 两组基之间的转换矩阵29-32
- 2.4 均匀C-spline基的全正性32-34
- 2.5 标准B基34-37
- 2.6 C-B-spline曲线的收敛性37-39
- 2.7 小结39-42
- 第三章 C-样条的路径研究与形状调整42-62
- 3.1 引言42-43
- 3.2 C-Bézier曲线的α-路径和扩展43-44
- 3.3 逼近α-路径的直线44-48
- 3.4 对称直线的交点48-51
- 3.5 C-B-spline曲线的α-路径和逼近直线51-57
- 3.6 通过给定点的C-Bézier曲线57-59
- 3.7 小结59-62
- 第四章 B样条的包络与形状调整62-78
- 4.1 引言62-63
- 4.2 B样条曲线的节点与包络63-65
- 4.3 NURBS曲线形状调整的单节点变动法65-71
- 4.4 B样条曲面的节点与包络71-73
- 4.5 多节点变动下曲线曲面的性质73-77
- 4.6 小结77-78
- 第五章 有理曲线曲面的区间隐式化78-98
- 5.1 引言78-79
- 5.2 重心坐标79-81
- 5.3 区间隐式曲线与曲面81-83
- 5.4 有理曲线的均匀区间隐式化83-88
- 5.5 有理曲面的区间隐式化88-95
- 5.6 小结95-98
- 第六章 结论与展望98-118
- 发表文章目录118-119
- 致谢119
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