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各向异性功能梯度平面梁的弹性力学解

黄德进  
【摘要】: 功能梯度材料是一种特殊的非均匀材料,具有材料组分沿某个方向连续分布的特点,结构不存在内部界面。与传统层合复合材料相比,具有无可比拟的优势。功能梯度梁在结构工程和智能结构中将有广泛的应用。本文系统地研究了各向异性功能梯度材料的有限长弹性梁、压电梁和磁电梁在多项式分布载荷和任意分布载荷作用时,各种端部条件下的弹性力学解。 首先从功能梯度各向异性弹性材料、压电材料或磁电材料的基本方程出发,导出平面问题的应力函数,电位移函数或磁感应强度函数所满足的偏微分方程。方程中的弹性柔度系数、压电电压系数、自由介电隔离率、磁电系数或磁通系数是梁厚度坐标的函数。当梁的上下表面受多项式载荷作用时,在假定梁的材料参数沿梁厚度方向是任意连续函数的情况下,都可以得到问题的解析解。当梁的上下表面受任意载荷作用,在求取解析解时,梁的材料参数假定为沿梁的厚度方向是指数函数或某种幂函数形式;在求取半解析解时,则可指定任意连续函数形式。其次,当梁的上下表面受多项式分布载荷作用时,设定应力函数、电位移函数或磁感应强度函数分别为长度方向的多项式形式,其中包含厚度方向的待定函数;当梁的上下表面受任意形式的分布载荷作用时,则设定应力函数、电位移函数或磁感应强度函数分别由两部分叠加而成。一是长度方向的三角函数与高度方向为待定函数的乘积,另一为长度方向的一次多项式函数形式。接着利用应变协调方程、电场协调方程和磁场协调方程等,求解出含待定常数的应力函数、电位移函数和磁感应强度函数表达式。然后得到应力、电位移、磁感应强度、轴力、剪力、弯矩、平均电位移、平均磁感应强度、位移和电势的表达式。再利用边界条件完全确定应力函数、电位移函数和磁感应强度函数。最后利用应力函数、电位移函数和磁感应强度函数得到应力、电位移、磁感应强度和位移、电势、磁势等物理量,从而得到了各向异性功能梯度梁的各种弹性力学解。 本文还给出若干解析解的数值算例,并与其他研究工作的数值算例和有限元算例进行了比较,发现并讨论了其中相同和不同之处。


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