自旋1/2量子系统的分析与控制

【摘要】：本文研究了多自旋1/2系统伴随与反伴随算子的矩阵表示和这些矩阵的计算以及单自旋1/2系统的反馈控制问题。利用李群李代数的方法可将描述自旋1/2系统的刘维尔方程(Liouville-von Neumann Equation)转换为在非线性系统控制框架内进行研究的张量空间基下的坐标微分方程。本文的研究结果由以下三部分组成: 第一部分:研究了单自旋1/2系统的反馈控制问题,即从任何初始点出发的轨线可以渐近跟踪给定的理想轨线。通过引入一种与同质空间性质类似的实欧几里德结构导出的距离定义的李亚普诺夫函数来设计控制跟踪给定的轨线。这种构造李亚普诺夫函数的方法和Jurdjevic-Quinn镇定方法很类似,但由此通过拉塞尔不变集原理计算最大不变集也会变得较为复杂。这一部分将在此系统模型的基础上利用双线性控制系统的李亚普诺夫反馈控制设计方法研究单自旋1/2系统的反馈控制问题,并通过拉塞尔不变集原理计算出了某些难以进行渐近跟踪的初始点。 第二部分:研究了多自旋1/2系统伴随与反伴随算子的矩阵表示和这些矩阵的计算问题。首先引入了一个多下标变换映射,可建立空间gl(2,C)~((?)n)的元到空间gl(2~n,C)的元之间的联系。基于这个映射定义了作用于gl(2,C)~((?)n)上的伴随与反伴随算子的矩阵表示。利用张量积矩阵李括号的一个结果得到了计算多自旋1/2系统伴随与反伴随算子矩阵表示的公式。这些结果不仅揭示出了作用于gl(2,C)~((?)n)到gl(2~n,C)伴随与反伴随算子矩阵表示与作用于gl(2,C)到gl(2,C)伴随与反伴随算子矩阵表示之间的关系,而且也提供了计算多自旋1/2系统伴随与反伴随算子矩阵表示的算法。最后通过一些例子验证了这些算法。 第三部分:研究了利用矩阵adλ_(i_1i_2),i_1,i_2∈I4来描述双自旋1/2系统的动态行为问题。引入了可分别被视为密度算子ρ和哈密顿H在基{λ_(j_1j_2)}j_1,j_2∈I4下的坐标?和h。利用坐标?和h,密度算子方程(即Liouville-von Neumann方程)可被变换为坐标微分方程。由此可以得到密度算子坐标的动态行为可完全由e, h和双自旋1/2系统伴随算子adλ_(j_1j_2_(·)的矩阵表示{adλ_(j_1j_2)}j_1,j_2∈I4进行刻画;并且矩阵{adλ_(j_1j_2)}j_1,j_2∈I4在描述密度算子坐标?的动态时具有关键作用。基于得出的坐标微分方程,有关双自旋1/2系统的控制和滤波问题就可以在非线性系统理论的框架内进行研究。