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《杭州电子科技大学》 2011年
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拟线性椭圓型方程解的若干性质

赵娜  
【摘要】:在偏微分方程的理论研究中,对拟线性椭圆型方程的研究是十分重要的。物理学中的许多问题都可以归结为拟线性椭圆型偏微分方程及方程组的问题。而其中的A-调和方程在拟正则映射、弹性力学和物理学中都有相当广泛的应用。 拟线性椭圆型方程解的适定性包括解的存在性,唯一性和稳定性。人们最开始研究方程的古典解,进而研究方程的弱解和很弱解。目前关于二阶拟线性椭圆型方程的弱解,很弱解在不同空间、不同限制条件下的存在性、唯一性的研究已经有一些结果。而方程解的稳定性是指解的连续依赖性,它的依赖指标可以是算子的可积指数,也可以是边界条件,还可以是其他参数。 本文在已有结论的基础上,在第二章讨论了方程-divA(x,Du)=f(x,u)带有很弱边界值的很弱解的唯一性。应用Hodge分解的方法结合一些容量不等式,Sobolev嵌入定理,Ho1der不等式以及Young不等式,给出了方程很弱解的唯一性。 第三章讨论了方程-divA(x,Du)=f(x,u)的很弱解关于区域的稳定性,应用Hardy不等式和Vitali控制收敛定理,以及Sobolev嵌入定理和Poincare不等式得到了方程的很弱解关于区域的稳定性。 变指数Sobolev空间主要应用于变指数增长问题的讨论,这些问题来源于非线性弹性力学、电流变学以及图像处理。建立这些实际问题的数学模型一般是用具变指数增长的偏微分方程,而对这类偏微分方程解存在性、正则性等的研究需要在变指数函数空间中进行。 本文在第四章讨论了方程div(p(x)|▽u|p(x)-2▽u)=0的障碍问题的解和方程上(下)解之间的关系。将常指标p-Laplace方程障碍问题解的一些性质推广到变指标的p(x)-Laplace方程障碍问题的解的情形,给出了方程的解与上(下)解的一些关系。
【学位授予单位】:杭州电子科技大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O175.25

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【参考文献】
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