多领域统一建模框架下PDE与DAE的一致求解方法研究

【摘要】：随着世界经济的飞速发展，全球化市场逐渐形成，制造业之间的竞争日趋激烈。日趋复杂的现代机电产品广泛涉及航空航天、机电制造、能源和交通等重要制造行业，如飞机、电力机车、混合动力汽车等，通常是集机械、电子、液压、控制等多个领域子系统于一体的复杂大系统，多领域耦合和连续-离散混合及知识非结构化的特性是其本构关系描述的基本特征。 针对这些复杂工程系统多领域统一建模与仿真的需求，近年来多领域统一建模与仿真的理论和方法的研究发展迅速，并初步形成了以Modelica为代表的多领域统一建模规范语言。这些语言普遍支持面向对象、多领域统一，非因果陈述式表示以及连续-离散混合的建模法，为解决复杂工程系统的众多领域耦合问题开辟了新的道路，并且开始逐渐应用于工程实际，取得了良好效果。 Modelica语言是为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言，目前该语言仅支持对时间域微分代数方程（DAE）问题的描述，而对空间域的偏微分代数方程（PDE）问题缺乏有效支持。为了实现Modelica语言对PDE问题的支持，进而对多领域系统进行统一建模，本文研究了多领域系统PDE与DAE统一描述和统一求解的方法。提出了利用无网格径向基函数配点法并结合成熟的DAE求解器进行求解。首先研究时间域与空间域耦合的PDE问题的数值解问题，主要思想是将PDE问题转换成DAE问题。通过无网格径向基函数配点法将该PDE问题在空间求解域分布的节点上离散成一系列的DAE，然后在此基础上再采用成熟的DAE求解器，主要采用基于Modelica语言的仿真平台软件MWorks（MWorks是由华中科技大学开发的基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台）进行求解。本文提出的方法在不改变Modelica语法的前提下，基于多领域系统统一框架下时间域与空间域耦合PDE与DAE的一致建模，实现了PDE与DAE的一致求解，大大简化了PDE问题的求解难度，并且求解精度高，稳定性好、边界条件处理简单，有利于直接求解复杂工程系统多领域耦合、时间域和空间域耦合的复杂问题。 本文提出的无网格径向基函数配点法将PDE问题转化为DAE问题，进而在基于Modelica语言环境的MWorks中利用成熟的DAE求解器进行一致表示和求解。对于解决多领域时间域与空间时域耦合的PDE与DAE混合物理系统，该方法是一种简单而有效的求解方式。一方面，无网格径向基函数配点法在对PDE问题空间离散处理上能够克服以往一些数值法的不足，如直线法对求解域边界要求规则，有限元法依赖于网格的划分等等；另一方面，充分发挥了多领域统一建模语言Modelica的优势，进而很好的解决了多领域系统PDE与DAE混合模型建立求解的问题，这对提高Modelica语言解决复杂物理系统建模与仿真的能力有着非常重要的意义。