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非线性抛物型方程若干类反问题的研究

张海丽  
【摘要】: 反问题的研究领域非常广泛,大多数来源于各种实际背景,具有多学科交叉的特征,无论在理论研究还是在实际应用方面都具有非常重大的意义。反问题大多属于不适定问题,而且是非线性的,尽管其相应的正问题是适定的、线性的,这使得反问题的理论研究与数值求解都比正问题困难的多。 在自然科学与工程技术领域中有许多问题需要用微分方程反问题来描述,而且往往归结为非线性抛物型方程反问题。正是基于非线性抛物型方程反问题的重要意义与价值,本文主要对若干类非线性抛物型方程反问题进行了适定性分析与数值模拟研究。 全文主要是围绕非线性抛物型方程的若干类反问题进行了理论分析与数值计算研究。 文中第二章主要对一维半线性抛物型方程反问题通过利用半中心差分的思想来设计合理的数值算法,进行了数值模拟。其数值模拟结果与精确结果相吻合,证明了该算法的有效性。 文中第三章和第四章分析了非线性抛物型方程的爆破性质,用数值模拟结果证明了反问题中时间选取的重要性。分别为一类高维半线性、拟线性抛物型方程的反问题设计了正则化算法。由于该问题的不适定性,文中灵活运用傅里叶变换,首先将问题转化为非线性积分方程,然后通过对积分方程添加一个小的扰动来构造正则化解,文中在合理的假设下,在理论上给出并证明了反问题的条件适定性和算法稳定性,并给出了近似解的误差估计。 文中第五章对纺织材料热湿传递中非线性抛物型方程进行了分析并提出了相应的反问题。 本文的创新性在于,克服了非线性、高维、不适定性困难,获得了理论结果和数值算法,并首次提出纺织材料设计反问题。


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