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现代动力学高阶Lagrange系统的研究及应用

彭可可  
【摘要】:现代动力学高阶Lgrange系统的建立,进一步深化了力学研究的深度与广度。高阶Lagrange函数的获得,高阶方程的建立,使其高阶理论的研究有了坚实的基础。在给定的高阶系统下,着力研究高阶系统的逆问题和Lie对称性及其他力学常用解法。文章引用并陈述先前的研究结果,给出了现代动力学高阶的Lagrange函数和方程。这一结果作为我们研究的基础函数和方程,由此展开文章的发展,研究其相对应的问题。对于现代动力学高阶系统的研究,我们首先是对逆问题的研究。基于完整保守的高阶系统Lagrange方程,给出其共轭条件,推广二阶逆问题的构造Lagrange函数的方法,运用在高阶系统中,获得高阶的Lagrange函数。给出一个例子,说明该方法的应用。数学图形具有直观明了的特性,在逆问题部分,引入MATLAB语言,做出简单的图形。用具体的例子来分析图形的应用。将广义坐标和Lagrange函数都表示为时间t的函数,做出关于时间t的图形,再具体分析其相关的性质,与经典的结果相对比。我们研究了现代动力学高阶方程的Lie对称性、Hojman理论和场方法。在Lie对称性部分,我们引入无穷小的k阶延拓公式,根据Lie对称性的确定方程,得出高阶方程的Lie对称性的确定方程,由Lie对称性定理获得了高阶方程的Noether型守恒量。在Hojman理论这一部分,我们通过将高阶的Lagrange方程进行转换,使其变为一组一阶的微分方程组,再通过代入到经典的Hojman定理中,获得了高阶方程的Hojman守恒量。场方法是一种有效而直接的方法,我们把场方法应用到高阶的Lagrange方程中,增加了方程解的多样性。我们列举了一部分实例作为各种方法的应用,意图说明各种方法的使用过程。本文在继现代动力学高阶Lagrange方程的研究之后,进一步研究了高阶Lagrange力学的逆问题及逆问题的图形分析,研究了高阶方程的Lie对称性、Hojman理论和场方法,得到了相对应的守恒量。而且,这种高阶的方法同样是适合低阶的情况,与经典的二阶方程的研究是一致的,具有普遍性。本文的创新性体现在:用对比的方法,扩展经典的方法得到了现代动力学高阶方程的逆问题;引用数学图像来分析逆问题,验证理论研究;把经典的研究方法运用到高阶方程,并且获得了更为一般的结论。


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