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几类非线性发展方程的精确解

蔡晓娜  
【摘要】: 求解孤子方程的精确解一直是孤子理论研究中非常重要的研究课题.运用Hirota双线性导数方法,Backlund变换,非线性叠加公式,以及θ函数等来求几类典型发展方程,比如说KdV方程,mKdV方程,Schrodinger方程及他们的推广方程的孤子解,并且努力去得到更多更广泛的精确解,是一项具有重要意义的研究工作.本论文研究的方程为以下四个:变系数Schrodinger方程,带导数Schrodinger方程,mKdV6方程以及AKNS方程族中第一和第二个方程. 本文主要工作具体如下: 第一部分开始先介绍了Schrodinger方程的研究背景,其次给出双线性导数算子的定义及其基本性质的简单介绍:接着详细推导了变系数Schrodinger方程的双线性导数方程,然后利用Hirota双线性方法来推得变系数Schrodinger方程的暗N-孤子解.最后针对求得的孤子解的表示形式进行了特殊情况的考虑,并附图加以说明. 第二部分首先介绍孤子方程-mKdV6方程:接着给出mKdV6方程的双线性导数方程,并求得其N-孤子解:之后研究了mKdV6方程的Backlund变换,修正Backlund变换及其退化结果:最后探索了mKdV6方程的非线性叠加公式. 第三部分主要研究θ函数下非线性发展方程的类周期解.第一步简单介绍θ函数的定义及其与双线性导数算子结合后得到的一些重要公式:然后是运用θ函数分别求解AKNS方程族的第一、第二个方程以及带导数Schrodinger方程的精确解.在求解过程中深刻体会求孤子解和类周期解时对双线性导数方程的两种典型但不同的处理方法.以此来说明求解孤子方程精确解方法的多样性,从而充分认识各类方法求解的利弊.


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