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鞅差与相依随机变量序列部分和精确渐近性

曾艳  
【摘要】:概率极限理论是概率论的主要分支之一,也是概率论的其他分支和数理统计的重要基础.一直以来,独立随机变量是概率极限理论研究的基本对象.关于独立随机变量的经典理论在20世纪30年代和40年代已获得完善的发展.在实际问题中,我们研究的随机变量序列通常是不独立的,随机变量序列之间总是存在这样或那样的相依性.因此相依随机变量序列的理论研究引起广泛关注. 一些相依随机变量的引入不仅是理论上研究的必要,如在马氏链,随机场论,多元统计分析等分支中就早已提出一些随机变量的相依性概念,而且也是实际问题的需要,如在一些实际中统计样本的观测值存在着非独立的情形. 负相伴(简称NA)与鞅差随机变量序列都是非独立随机变量的重要情形.自从提出了NA随机变量序列的概念,人们发现其在可靠性理论和渗流性模型等重要领域中有许多应用.而鞅差是独立随机变量的自然推广,是由V ille[19]首先提出的,其概念具有很强的直观背景,在理论和应用中有重要的意义. 全文主要分为四章. 第一章,研究了由鞅差序列生成的线性过程的Baum-Katz大数定律的精确渐近性.谭给出了正相协序列生成的平均移动过程的Baum-Katz大数定律的精确渐近性.本章在谭的启发下,考虑了鞅差序列生成的线性过程的Baum-Katz大数定律的精确渐近性.由于正相协序列与鞅差序列的相依结构有本质的差异,因此我们的证明方法和所加的条件、引理与谭文中是有差别的.我们首先利用鞅差序列矩的不等式和一些已知条件建立鞅差序列生成线性过程矩的不等式.然后利用几个相关的引理证明了鞅差序列生成的线性过程的Baum-Katz大数定律的精确渐近性. 第二章,研究了非平稳鞅差序列生成的线性过程的精确渐近性.在实际问题中出现的序列大多是非平稳的,所以强平稳条件必然会给一些问题的研究带来障碍.在第二章中我们解除强平稳条件的束缚,对第一章的结论进行进一步的推广 第三章,研究了正态吸引场非平稳NA序列部分和的精确渐近性.文献[4]研究了独立与NA序列部分和的精确渐近性,文献[4]所得的结论是在强平稳的条件下成立.本文受文献[4]的启发,研究了非平稳NA序列部分和的精确渐近性,所得的结果包含了已有的一些结果. 第四章,研究了LPQD序列Davis大数定律的精确渐近性.Mi研究了PA序列的Davis大数律的精确渐近性,LPQD是比PA更弱的相依性,本文在弱相依下研究了Davis大数律的精确渐近性.同时对于已有的成果进行进一步的改进.


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