压缩传感的测量矩阵与恢复算法研究

【摘要】：本论文围绕由Candes、Tao、Romberg、Donoho等近期提出的压缩传感(Compressing Sensing, CS)理论展开。与目前仍然在信息领域中占统治地位的Shannon/Nyquist定理不同,此理论将信号的采样与压缩同时进行,使得在某基上有稀疏或压缩表示的信号采样比率大大降低,稀疏/可压缩信号能从先前被认为是高度不完整的测量(信息)中高概率恢复。虽然CS仍处于研究初期,但作为信号领域的一种新理论、新技术,已被广泛应用于信号与图像处理等诸多领域。 围绕这个新兴的理论,本文针对CS依赖的测量矩阵和重构算法进行了一些相关研究：(1)针对测量矩阵随机元过多不利于物理实现的问题,提出稀疏带状和稀疏列矩阵,在保证重构质量的前提下将测量矩阵的独立随机元减少三分之一以上；(2)研究并梳理了CS理论的主要重构算法,构建了一个可进行算法比较的平台；(3)针对迭代硬阈值算法迭代时间过长的问题,提出了基于回溯的迭代硬阈值算法,保证重构质量的同时重构时间减少了两个数量级；(4)将提出的测量矩阵和重构算法应用于二维大幅面图像的重构,图像信噪比和重构时间均有一些改善。详细的研究工作及成果如下： (1)针对压缩传感中的主要要素之一—测量矩阵,目前大部分的工作聚焦在高斯或贝努利随机矩阵上。因为最优的非相干可由完全随机的测量矩阵获得。然而,这样的矩阵在硬件实现上代价太高,而随机托普利兹和循环矩阵的运用在保证信号重构概率的基础上,大大减少了测量矩阵必要的独立随机变元个数,易于硬件实现。本章在此基础上,提出稀疏带状和稀疏列的概念,形成稀疏带状随机矩阵、托普利兹矩阵或循环矩阵以及稀疏列随机矩阵、循环矩阵,随机变元个数,在保证重构质量的前提下将测量矩阵的独立随机元减少三分之一以上；采用通用的模拟实验方法,验证所得此类稀疏矩阵的重构效果及成功概率与随机、托普利兹和循环矩阵相当。 (2)针对CS后端重构,总结了主要的l1-最小化算法和贪婪算法,包括MP、OMP、MBOOMP、ROMP、STOMP、IHT、CoSaMP、SP、Bregman等迭代算法,构建了一个可进行算法比较的平台。同时,采用0-1组成的随机信号进行性能比较的模拟实验,结果表明SP和CoSaMP算法的重建概率优于其它算法。 (3)针对压缩传感理论中迭代硬阈值算法迭代次数多和时间长的问题,提出基于回溯的迭代硬阈值算法。该算法通过加入回溯的思想,优化了IHT算法迭代支撑的选择,减少支撑被反复选择的次数。模拟实验表明,在保证重构质量的前提下,相比较于IHT和NIHT算法,BIHT算法的重构时间降低了2个数量级。用本身稀疏的0-1随机信号的重构实验表明,若测量次数和稀疏度相同,BIHT算法的重构概率高于IHT算法。 (4)在提出的稀疏带状测量矩阵及BIHT重构算法的基础上,研究了二维图像的重构。当二维图像尺寸太大而难以重构时,本文采用稀疏带状测量矩阵矩阵以及按列逐步重构图像的方式,可使得测量矩阵独立随机元减少三分之一以上,矩阵维数等价于图像列数。另外,还比较了本文提出的稀疏带状测量矩阵结合BIHT算法与随机高斯矩阵结合SP算法对图像的重构效果,实验结果表明,前者在重构的图像信噪比和重构时间上均优于后者。