关于一类平面微分系统稳定性问题的研究

【摘要】：稳定性问题的研究是微分系统定性理论的重要研究方向之一,关于稳定性问题研究的方法有许多,得到的基本结论也不少.本文是对一类平面微分系统稳定性问题进行了基础性的研究,主要研究了两个方面工作.一是研究了平面C1向量场的奇点指数计算问题,并利用多项式互素定理,构造一类特殊的齐次多项式,应用奇点指数的几何意义,得到计算奇点的指数新方法,此方法与Cauchy指标计算方法不同,在计算中更加简洁有效.二是引入Dulac函数,构造正不变集,负不变集,利用Dulac函数和正不变集,负不变集的性质研究一类平面微分系统的稳定性问题,有效地把研究区域从整个平面拓展到有界或无界连通区域上,改进了 C.C.Mccluske和J.S.Muldowney文中所给判别稳定性的Bendixson判别法,指出如果在R2上满足Bendixson准则,那么不存在方程的非常数周期解.因此,满足Bendixson准则的方程的每个正半轨线或者是无界的,或是它的ω极限集包含一个平衡点.全文共分为五章,第一章给出了本文的研究背景和研究工作规划;第二章给出本文需要用到的基本概念和引理;第三章得出计算奇点指数的新方法;第四章研究了 Dulac函数在研究微分系统稳定性中的新结论,改进了 C.C.Mccluske和J.S.Muldowney文中的结果;第五章是对后期工作的展望,提出下一步需要研究的问题.