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《安徽大学》 2019年
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分数阶微分方程的李对称分析和精确解

袁媛  
【摘要】:分数阶微分方程,是对整数阶微分方程的推广,通过分数阶微积分理论进行研究.由于分数阶微分方程不仅在纯数学中被公认为基本方程,而且在工程、统计力学等领域也因其多种应用而被公认为基本方程.于是,寻找其精确解成为了研究分数阶微分方程的主要的目的,为了研究一类分数阶微分方程的精确解,不少文献已提出辅助方程法、齐次平衡法等方法,本文着重选取了李对称法和不变子空间法.文章结构如下:第一章:简要说明分数阶微分方程及其求解方面的研究背景、一些与本文相关的预备知识.第二章:主要利用经典李对称法,求得一类分数阶微分方程的李对称.通过相似变换、相似变量,方程被约化为带有Erdelyi-Kober分数阶算子的非线性常微分方程.进一步在李代数的基础上,利用具有正则拉格朗日函数的新的守恒定理,讨论给定方程的守恒律,并对其进行了详细推导.第三章:以Whitham-Broer-Kaup方程为例,通过变分法以及基于变分原理的凑合反推法来构造分数阶微分方程,将Whitham-Broer-Kaup方程构造为混合分数阶的Whitham-Broer-Kaup方程,并对所构造方程进行李对称分析.第四章:主要介绍不变子空间法,并将不变子空间法推广到时间分数阶耦合非线性偏微分方程,对给定的离散分数阶微分方程进行分类,给出所考虑方程组允许的不变子空间存在的充分条件,并讨论不同情况下的精确解.第五章:通过总结本文,提出未来还需努力探索的方向.
【学位授予单位】:安徽大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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