重尾分布下风险模型中的破产概率

【摘要】： 本文从两个方面进一步研究风险模型中的破产概率，着重寻找它的尾概率等 价形式，得到了与经典的Cramer-Lundberg模型相一致的结论。 在金融与保险业中，破产概率ψ（x）定义为： 这里，x≥0代表保险公司初始资本；X_i，i≥1为i.i.d.个体索赔r.v.序列；具有共同 的分布F与有限的一阶矩EX_1；常数0＜c＜∞称为保险费率；N(t)表示时间段 [O,t]上的总索赔次数，因而为一相应的风险过程。 众所周知，经典的Cramer-Lundberg模型下的破产概率问题已被很好地解决 了，Embrechts et al（1997）给出了如下的结果： 如果净利润条件ρ＞0且索赔分布F∈D，那么 这里，为F的平衡分布，F_e=1-F_e，重尾族。 另外，唐启鹤和苏淳（2000）考虑了更新风险模型下 的破产概率，在同样的条件下，得到了同经典模型相一致的结论。 本文的第一部分继续讨论这一问题。假定索赔分布F满足以下条件之一时， 我们也得到了同样的结论，这些结论进一步改进和丰富了已有的结果。 、、。，。 xr《x ） 《c】P 上壬三尖．11口区Su口＿＜口o 工＿＿厂＿IXj ，。。＿；；＿＿、、＿入厂x）＿＿＿＿。‘。厂k）：n 问F月宰实，liXSllPHH＝CO，尸（O）＝Wier＋0 x、。Fe（X） EX；Fn…） ， XP H 111 SliD＿＜人Y XWod 上（x）I—lflp00I 通洲条俐d）的分析，我们发现，作为风险理论中的一个重要分布，Weibull 分布满足（d），但它不属于重尾族D． 本文的第二部分是在第一部分的基础上，把所考虑的模型进一步扩展到平衡 更新风险模型、延迟因新风险模型和复合暨新风险模型。在这一部分里。我们证 明了： ＊）在平衡更新风跪型下，如果分布F满足上述条附句山八k）之一时，什树幻 式仍然成立，并且，F。D是它的特殊情况。 （2在延迟更新风险模型下，如果分布厂满足上述条件间 o）…八…之一时， P树）式也成立，并且厂。o和尺。s是它的两个自然推论。这里重尾族 。＿。，；，＿＿F（X）＿＿＿。。＿＿．－，。，n。。＿＿＿。n S。（厂：tim二二上工＝n，对所有的n三 2｝，F广是F的n卷积。 ““”F00。—一 刁在复合更新风幽型下，如果肺厂属于D门L且第n次灾瓣生导致的索 赔次数厂i 2 1（．i．d．）是轻尾的或分布厂属于ERV卜a，－尸）且以”＜山对某 个p p成立，我们证明了类似的结论。如果进一步假定分布尸是连续的， 则得到的结论同经典时惰况完全一致。其中上面的两重尾族定义为： 。，；；＿F（X—y），＿。＿＿－。。 L＝｛厂：tim上一二一上二＝1，对脯y＞0｝ X、。F（X） ，n，。。＿n。。，＿－。－；，＿＿，＿。尸卜）－；，＿＿＿＿＿＿F卜）＿＿』－。。 ER厂卜，一卢）叫厂：y”三 h口If ：＝：Z：－三 11m sap 4；Z：三厂”｝ X、。尸（X）x、。“尸什〕 兵甲1＜a三o＜口o HJI