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重尾分布下风险模型中的破产概率

曹龙  
【摘要】: 本文从两个方面进一步研究风险模型中的破产概率,着重寻找它的尾概率等 价形式,得到了与经典的Cramer-Lundberg模型相一致的结论。 在金融与保险业中,破产概率ψ(x)定义为: 这里,x≥0代表保险公司初始资本;X_i,i≥1为i.i.d.个体索赔r.v.序列;具有共同 的分布F与有限的一阶矩EX_1;常数0<c<∞称为保险费率;N(t)表示时间段 [O,t]上的总索赔次数,因而为一相应的风险过程。 众所周知,经典的Cramer-Lundberg模型下的破产概率问题已被很好地解决 了,Embrechts et al(1997)给出了如下的结果: 如果净利润条件ρ>0且索赔分布F∈D,那么 这里,为F的平衡分布,F_e=1-F_e,重尾族。 另外,唐启鹤和苏淳(2000)考虑了更新风险模型下 的破产概率,在同样的条件下,得到了同经典模型相一致的结论。 本文的第一部分继续讨论这一问题。假定索赔分布F满足以下条件之一时, 我们也得到了同样的结论,这些结论进一步改进和丰富了已有的结果。 、、。,。 xr《x ) 《c】P 上壬三尖.11口区Su口_<口o 工__厂_IXj ,。。_;;__、、_入厂x)____。‘。厂k):n 问F月宰实,liXSllPHH=CO,尸(O)=Wier+0 x、。Fe(X) EX;Fn…) , XP H 111 SliD_<人Y XWod 上(x)I—lflp00I 通洲条俐d)的分析,我们发现,作为风险理论中的一个重要分布,Weibull 分布满足(d),但它不属于重尾族D. 本文的第二部分是在第一部分的基础上,把所考虑的模型进一步扩展到平衡 更新风险模型、延迟因新风险模型和复合暨新风险模型。在这一部分里。我们证 明了: *)在平衡更新风跪型下,如果分布F满足上述条附句山八k)之一时,什树幻 式仍然成立,并且,F。D是它的特殊情况。 (2在延迟更新风险模型下,如果分布厂满足上述条件间 o)…八…之一时, P树)式也成立,并且厂。o和尺。s是它的两个自然推论。这里重尾族 。_。,;,__F(X)___。。__.-,。,n。。___。n S。(厂:tim二二上工=n,对所有的n三 2},F广是F的n卷积。 ““”F00。—一 刁在复合更新风幽型下,如果肺厂属于D门L且第n次灾瓣生导致的索 赔次数厂i 2 1(.i.d.)是轻尾的或分布厂属于ERV卜a,-尸)且以”<山对某 个p p成立,我们证明了类似的结论。如果进一步假定分布尸是连续的, 则得到的结论同经典时惰况完全一致。其中上面的两重尾族定义为: 。,;;_F(X—y),_。__-。。 L={厂:tim上一二一上二=1,对脯y>0} X、。F(X) ,n,。。_n。。,_-。-;,__,_。尸卜)-;,______F卜)__』-。。 ER厂卜,一卢)叫厂:y”三 h口If :=:Z:-三 11m sap 4;Z:三厂”} X、。尸(X)x、。“尸什〕 兵甲1<a三o<口o HJI


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