关于广义Vandermonde矩阵的若干问题

【摘要】： 本文围绕Vandermonde矩阵和几种广义Vandermonde矩阵(如Cauchy-Vandermonde矩阵、合流Vandermonde矩阵、函数形式的合流Vandermonde矩阵以及q-adic Vandermonde矩阵)展开讨论，归纳总结了它们的若干性质。 首先介绍了Vandermonde矩阵的概念和若干性质，如与多项式插值问题之间的联系，以及Vandermonde矩阵的三角分解等。 其次，本文针对几种广义Vandermonde矩阵进行了归纳和推导。例如，Cauchy-Vandermonde矩阵在Lagrange类型插值问题中可以看作其系数矩阵。同时本文给出了Cauchy-Vandermonde矩阵的其它性质，如逆矩阵的表示等。此外，围绕合流Vandermonde矩阵，一方面给出它的插值意义，得到合流Vandermonde矩阵与Hermite插值问题之间的联系：另一方面给出行列式值的递推公式等。对于函数形式的合流Vandermonde矩阵和q-adic Vandermonde矩阵，同样得到了它们与相关插值问题的联系以及其它性质。 最后，通过给定一个具有相同重度的结点序列，构造对应的合流Vandermonde矩阵和特殊的Hankel矩阵，给出了这两种矩阵之间的关系。此外，对应结点构造一种特殊的Toeplitz矩阵，类似可得到一系列相关性质。