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二次域中几种特殊不定方程研究

王振  
【摘要】: 不定方程作为数论的一个分支,它有悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指,解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组,一般来说,其未知数的个数多于方程的个数。它与代数、组合数学、计算机科学等有着密切联系。从而很多学者对不定方程有着很高的兴趣。 本文主要工作在于利用代数数论中,二次域的有关理想、类数等相关知识,讨论了以下不定方程: 一、讨论了不定方程x2+D=4y5(D=15,23,39,43,67,71)整数解问题,并且证明了: (1)不定方程x2+43=4y5无整数解 (2)不定方程x2+67=4y5无整数解 (3)不定方程x2+15=4y5无整数解 (4)不定方程x2+23=4y5无整数解 (5)不定方程x2+39=4y5无整数解 (6)不定方程x2+71=4y5无整数解 二、讨论了不定方程X2+C=yn(n=3时C=11,C=19;C=4n;当n=5,C=4;)的整数解的问题,并证明了: (1)不定方程x2+11=y3的整数解仅有(x,y)=(±4,3),(±58,15)。 (2)不定方程x2+19=y3仅有整数解(x,y)=(±18,7). (3)不定方程x2+4n=y3n∈N,x=0(mod2),x,y∈Z,n≥3)仅有整数:(x,y,n)=(0,4k,3k),(±2×8k,±2×8k,3k+1)(±2×8k,±2×8k,3k+1,),k∈N,k≥1 (4)不定方程x2+4=y5无整数解。


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