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广义全纯结构,广义Kahler几何,及Whittaker函数的一个应用

王一操  
【摘要】:本文包含相对独立的两个部分,第一部分的核心内容包含第二、三、四、五章, 第二部分包含第六章. 第二章给出必要的几何背景知识. 在第三章,我们在广义复几何的背景下考察了广义全纯结构.我们发现当一些额外的条件成立时,广义全纯向量丛的全空间会带有一个可积的近广义复结构.我们还证明,向量丛的广义全纯性等价于其全空间上一个广义分布(广义切丛的子丛)的可积性.上述分布联系着一族线性Dirac结构,当它满足一个进一步的条件时,它是广义复结构.在同一个条件下我们还证明,在一个正则点附近,广义全纯性等价于局部上广义全纯标架的存在性. 在第四章,在广义Riemann几何的背景下,我们讨论了广义K(|a¨)hler流形上所谓的“双全纯”几何.我们称为广义Bismut联络的联络在其中扮演着核心的作用.通过这个联络,广义K(|a¨)hler几何中自然出现的微分算子可以明显地表达出来,而且这些算子可以理解为通常的复几何中的几何对象. J.Bismut的非K(|a¨)hler流形上的局部指标定理引导我们得到广义全纯向量丛上的广义Dolbeault算子的指标的一种表达式.我们还证明了在流形为广义K(|a¨)hler的时,广义全纯向量丛上的广义Dolbeault算子是Mckean-Singer问题的解,即在此情形,局部指标定理成立.在可差一符号的前提下,这个指标就是底流形的Euler示性数乘向量丛的秩. 第五章包含从0+1维超对称σ-模型角度对广义K(|a¨)hler几何的较详细的考察.作为正则量子化的替代方案,我们使用了Peierls括号去量子化这个超经典系统.超荷(或者相应的微分算子)可以明显而协变地写出来. 第六章处理一个来自共形场论的无穷维线性代数方程(I + F)C = I + F.我们证明在选定的泛函分析框架下,方程的解C存在且唯一,而方程蕴含的内容是泛函分析中著名的Cayley变换.我们说明F如何可以通过Whittaker函数Wk,m(x)实现出来.这种实现使我们能够得到Wk,m(x)的一些崭新的性质.我们发展了计算C的矩阵元的方法,并推广了上述的性质.


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