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WENO方法的研究及其在对流扩散方程中的应用

刘元元  
【摘要】:本文主要研究加权本质无振荡数值方法(以下简称WENO方法)及其在对流扩散方程中的应用。 WENO方法是近年来广泛流行的一种高分辨率数值方法,用于解决以对流为主的对流扩散方程,特别是双曲守恒律问题。WENO方法具有在光滑区可以得到任意高阶精度,在间断区保持稳定的、本质无振荡性质和陡峭的间断过渡等优点。 WENO方法的主要思想是使用所有候选模板上的低阶逼近的凸组合来得到高阶逼近。WENO是一种插值或重构过程,可以方便地应用到有限差分格式或有限体积格式的框架中。在实际应用中,WENO过程有不同的表现形式:WENO插值、WENO重构和WENO积分。WENO构造过程中,格式的稳定性和无振荡性质主要依赖于线性权的正定性。我们讨论线性权在不同形式的WENO过程中的正定性,并给出线性权的显式表达和正定区间,以便为进一步设计各种形式的WENO格式包括WENO插值,WENO重构及WENO对高阶导数的逼近,和WENO积分打好基础。 对流扩散方程是粘性流体力学及其他实际问题中常见的一类基本运动方程。对于这类方程,除了极少数简单情形,大部分问题目前还无法求得精确解,只能利用数值方法进行数值模拟。因此,对流扩散方程数值方法的研究具有十分重要的理论和实际应用意义。对求解对流扩散方程,特别是以对流为主的对流扩散方程或者退化抛物方程,数值方法的设计过程中遇到的最大困难是间断的出现或者陡峭的过渡层。标准的WENO格式是用来求解双曲守恒律方程和以对流为主的对流扩散方程中的对流项,通常在求解对流扩散方程的WENO格式中,只对方程中的一阶对流项用WENO过程逼近,而对二阶导数扩散项用标准的中心差分逼近。这个方法在大多数的数值模拟中可以工作得很好,但是在求解有间断解的退化抛物方程中,会产生振荡的数值解甚至不稳定的格式。我们对二阶导数项构造守恒的有限差分WENO逼近,以多孔介质方程为例,考虑求解有间断解的非线性退化抛物方程,并应用推广到一维和二维问题。非线性退化抛物方程的解具有双曲守恒律方程解的类似性质,比如陡峭界面和紧支集界面以有限的速度传播。常用的方法是通过变量代换,将二阶方程改写成一阶方程组,然后再应用WENO重构过程求解该方程组,但该方法的相应的模板和计算量都很大。所以我们采用一个守恒的流通量差分,对二阶导数项直接进行逼近。我们首先讨论不同模板选取时的线性权,详细介绍六阶和八阶有限差分WENO格式的构造,理论分析格式的精度,并给出格式的CFL稳定性条件,最后数值试验验证格式的高分辨率和本质无振荡性质。 对流扩散方程解的一个重要性质是满足严格最大值原理,我们同样希望数值解也满足最大值原理,否则就失去了解的实际物理意义,比如放射性核素迁移的计算。多孔介质方程的有限差分WENO格式的数值解虽然是本质无振荡的,但是在陡峭界面处不能严格保证解是非负的。因此,我们将求解标量守恒律方程的满足最大值原理的格式推广,对非线性对流扩散方程,构造一个非传统的满足最大值原理的五阶有限体积WENO格式,并将格式应用推广到二维问题。主要思想是将单元积分平均算子应用两次,介绍双重积分平均值的概念,在此基础上构造五阶有限体积WENO逼近。我们理论分析证明格式的高精度,并在一定CFL稳定性条件下满足最大值原理,最后数值试验验证格式的高分辨率、本质无振荡和满足最大值原理的性质。


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