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《中国科学技术大学》 2014年
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Clifford分析在偏微分方程中的应用

王海燕  
【摘要】:本文研究Clifford分析在偏微分方程中的应用。这包括以下四个方面的内容。 (1)针对高维空间中任意阶的Cauchy-Riemann型非线性偏微分方程,建立了局部可解以及整体可解的一般性理论。 (2)在多Clifford变量的分析理论中,建立了非齐次Cauchy-Riemann方程紧支集解的存在性定理。 (3)在关于κ-Cauchy-Fueter算子的分析理论中,建立了非齐次Cauchy-Fueter方程紧支集解的存在性定理。 (4)建立了八元数Hermitian Clifford分析理论,特别研究了Dirichlet边值问题。 本文分为五章,具体内容如下: 第一章是引言部分,给出了Clifford分析在偏微分方程中的应用的研究背景,以及本文的研究方法和主要结论。 第二章研究高维空间中高阶非线性偏微分方程理论,将Nijenhuis-Woolf(Ann. Math.1963)关于一阶非线性偏微分方程可解性理论利用Clifford分析的方法推广到一般情形。这一理论的建立强烈依赖于Teodorescu算子在Holder空间中的有界性。Teodorescu算子是Dirac算子的右逆算子,它是一个奇异积分算子,对于该奇异积分算子的研究,我们引入了行之有效的工具—斜球坐标方法。 第三章研究多Clifford变量的分析理论,它是多复变函数论在非交换领域的推广。对于多Clifford分析中非齐次Cauchy-Riemann方程,我们给出了紧支集解的具体的积分表达式,证明了多Clifford分析理论中存在Hartogs现象,建立了相应的Bochner-Martinelli积分公式,此积分公式统一了单复变、多复变、多四元数理论的相应结果。 第四章研究κ-Cauchy-Fueter算子的分析理论,这是多四元数变量的分析理论。对于非齐次κ-Cauchy-Fueter方程解的研究,古典的方法是代数几何的方法,在低维数时才能给出解的具体的表达式,我们采用的是多复变的方法,其优越性是给出解的具体的构造。我们引入新的技巧,通过提高空间的维数,达到简化κ-Cauchy-Fueter算子的目的。这一技巧使得我们能建立相应的Bochner-Martinelli积分公式。 第五章研究八元数Hermitian Clifford分析。我们构造出了八元数的Witt基,引入了八元数Hermitian Dirac算子,建立了相应的积分理论和边值理论。
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2014
【分类号】:O175.2

【参考文献】
中国期刊全文数据库 前1条
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【共引文献】
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【二级参考文献】
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