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《中国科学技术大学》 2015年
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基于间断有限元的等几何分析及应用

张福涛  
【摘要】:由于费时的网格生成过程以及在后续的网格加细过程中所遇到的困难,传统的有限元方法在处理复杂几何区域时遇到了很大瓶颈。近年来,等几何分析被提出来以解决这一关键问题。本文中,我们进一步提出了结合间断有限元方法的等几何分析方法来来处理复杂区域上微分方程的求解问题。我们用多个互不重叠的NURBS片来表示复杂的几何模型。由于各个NURBS片上的基函数是完全独立的,间断有限元方法恰好能够实现多片的拼接以得到正确的解。值得注意的是,我们是在片的层次上运用间断有限元方法的,即只在片与片的公共边界处采用间断有限元方法,而在每一片的内部仍然采用标准的等几何分析方法。本文方法集合了等几何分析方法和间断有限元方法两者的优点,这使得我们能够设计出性能优异的数值格式。首先,等几何分析方法的运用避免了传统有限元中费时的网格生成过程,同时,后续的网格加细操作也可以通过样条函数的节点插入算法和升阶算法轻易地实现。其次,等几何分析基函数的灵活性,尤其是多片的运用,使得我们可以更为准确甚至精确地表示更复杂的几何模型。这样,从一开始就明显地降低甚至消除了以往用离散网格来逼近几何模型时所产生的几何误差。此外,间断有限元方法的灵活性使得本文方法可以轻易地处理非协调网格以及不同片之间采用不同次数基函数的情形。 本文主要研究用所提出的方法来数值求解定义在复杂的三维曲面上的偏微分方程。第一章简单地介绍了计算机辅助设计和非均匀有理B样条、计算机辅助工程、等几何分析方法以及间断有限元方法。第二章给出本文所需要的一些预备知识。在第三章和第四章中,我们分别考虑求解定义在复杂曲面上的椭圆方程和Allen-Cahn方程。针对这两个方程,分别推导出其相应的间断有限元格式,并结合方程给出本文方法的一系列理论分析。理论分析表明,所得的间断有限元格式是稳定的,并且达到了最优的收敛速度。这两章的数值算例不仅验证了所得理论结果的正确性,而且还展示了本文方法的优越性。在第五章,我们将本文方法与几何流结合来处理一些曲面设计问题,包括N边洞的填补和多个复杂几何体之间的光滑拼接问题等。所考虑的两个几何流分别是平均曲率流和拟曲面扩撒流。在推导出间断有限元数值格式后,我们给出其稳定性分析以及一系列的数值试验结果。试验结果表明,所得的目标曲面无论是在边界曲线处还是在面片之间的公共边界处都可以达到G1光滑。这充分展现了本文方法的有效性。
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O241.82

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【参考文献】
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【共引文献】
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【二级参考文献】
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