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分数阶Yamabe问题的一些紧性结果

方益  
【摘要】:欧氏空间Rn上的分数阶Laplace算子(-△Rn)γ,γ∈(0,1),在调和分析及随机偏微分方程中已有广泛的研究.但由于(-△Rn)γ是非局部的算子,所以局部的分析方法不能直接应用.于是Caffarelli和Silvestre将(-△Rn)γ等价成高一维的上半空间R+n+1中的边界退化的二阶椭圆型方程对应的Dirichlet到Neumann算子,从而将非局部的微分方程转化成局部化的退化椭圆方程边值问题来研究.对于黎曼流形的情形,对应的分数阶Laplace算子的等价退化椭圆方程边值问题解的Dirichlet到Neumann算子,则由Chang和Gonzalez在渐近双曲黎曼流形上给出.在渐近双曲流形上通过散射算子来定义分数阶共形Laplace算子,并导出与其等价的具有边界退化性质的延拓微分算子.利用分数阶共形Laplace算子,Gonzalez和Qing提出了分数阶Yamabe型问题,并对于一些具有几何约束条件的情形,证明了分数阶Yamabe方程解的存在性.本文从先验估计的角度考虑分数阶Yamabe问题,通过研究与分数阶Yamabe问题等价的退化椭圆方程的Dirichlet到Neumann边值问题,证明了分数阶Yamabe方程解的紧性.本学位论文的第一章介绍了研究背景以及我们取得的主要结果.第二章中研究了关于分数阶Yamabe方程相关的Palais-Smale序列的全局紧性,即对于分数阶Yamabe方程的渐近弱解,证明了渐近弱解在减去有限个气泡以后,在加权Sobolev范数意义下,强收敛到极限情形的分数阶Yamabe方程的解,并且渐近弱解的能量具有可分性,刚好等于极限解的能量与有限个气泡的能量之和.同时在本章中我们也分析了气泡之间的非干扰性.第三章主要研究了分数阶Yamabe方程真正弱解的紧性.在维数为4的渐近双曲黎曼流形上,当γ∈(3/8,1/2)时我们证明了分数阶Yamabe方程解集的紧性.利用反证法,如果方程的解集是非紧的,则在其解集中存在爆破的解列,于是可以找到对应的爆破点列,即爆破解列所对应的最大值点列.由爆破分析的技术,证明爆破点一定是简单孤立爆破点.再利用Pohozaev'恒等式的符号限制估计,并假设对应的退化椭圆算子的正质量定理成立,最后得出矛盾.于是证明出解集是非爆破的,即解是一致有界的.从而通过正则性估计得到解的紧性.


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