同伦范畴与紧生成子

【摘要】：这是一篇研究同伦范畴的博士学位论文,主要包含以下两个方面的内容。1.对于不含sink点的有限箭图Q及其所对应的有限维根方零代数A,我们研究A的内射模正合复形的同伦范畴Kac(A-Inj)。该同伦范畴是紧生成的三角范畴。在本文第三章,我们引入了Q的内射Leavitt复形,并证明了内射Leavitt复形是正合的。通过构造内射Leavitt复形的子复形滤链,我们得到了第三章的主要结果:(1)设Q为不含sink点的有限箭图。则Q的内射Leavitt复形是同伦范畴K_(ac)(A-Inj)的紧生成子。在本文第四章,我们首先回顾了Leavitt路代数、微分分次代数以及微分分次模的基本定义。我们赋予了内射Leavitt复形某个Leavitt路代数模结构,使得其为微分分次双模,然后证明了:(2)设Q为不含sink点的有限箭图。则Q的内射Leavitt复形是微分分次右拟平衡双模。特别地,我们得到:内射Leavitt复形的微分分次自同态代数拟同构于Leavitt路代数。此时,Leavitt路代数是自然Z-分次代数且被视为微分为零的微分分次代数。这给出了Leavitt路代数新的同调刻画。2.我们考虑上三角矩阵环的同伦范畴。设R,S是任意的两个含幺环,RMS为只-S-双模且R[M]为上三角矩阵环(?)。在本文第五章,我们引入了上三角矩阵环的下零同伦复形的概念,并证明了:(1)对于上三角矩阵环,存在同伦范畴之间的ladder,其高度为2。我们明确地写出了该三角范畴粘合的所有三角函子。通过对三角函子做左导出和右导出,我们得到了上三角矩阵环导出范畴的三角范畴粘合。在本文第六章,我们有如下结论。(2)设R[M]为上三角矩阵环。假设MS是平坦右S-模,则存在如下局部化序列:若S为单环,则R[M]为R关于M的单点扩张。根据上述结论可得:单点扩张保持内射模正合复形的同伦范畴。若R为单环,则R[M]为S关于M的单点余扩张。我们利用同伦极小复形证明了:单点余扩张保持内射模正合复形的同伦范畴。