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基于高阶有限差分格式的Inverse Lax-Wendroff方法及其稳定性分析

李婷婷  
【摘要】:用高阶有限差分格式数值求解有限区域上偏微分方程(组)的初边值问题时,边界条件的处理非常重要,它直接影响数值方法的相容性、稳定性和精度。本文主要将Inverse Lax-Wendroff方法(简称ILW方法)与简化Inverse Lax-Wendroff 方法(Simplified Inverse Lax-Wendroff method,简称 SILW 方法)用于求解双曲守恒律方程和扩散方程初边值问题高阶有限差分格式的边界处理中;并运用GKS(Gustafsson,Kreiss and Sundstrom)分析和特征谱可视化方法分析格式的稳定性。首先,我们将ILW方法及SILW方法用于求解一维双曲守恒律方程(组)初边值问题高阶迎风格式的边界处理之中。边界条件处理主要有两个问题:一是,高阶有限差分方法需要较大的模板,导致在边界点附近需要定义虚拟点值;另一是,给定的物理边界不在网格格点上。这都会给构造有效的数值边界条件带来困难。ILW方法及SILW方法可以很好的解决上述两个问题并得到稳定且具有高精度的格式。ILW方法主要运用方程形式将边界点处的空间导数转化为已知边界条件的时间导数进而运用在相应边界点处的Taylor展开得到虚拟点的值。若方程形式很复杂或所求空间导数阶数较高时,ILW方法会造成复杂的代数运算。一种简化的ILW方法,即SILW方法,可以减少计算的复杂性和降低计算消耗。SILW方法仍运用在边界点处Taylor展开对虚拟点进行赋值,但边界点处空间导数值由以下两种方式得到:(1)由ILW方法得到;(2)由拉格朗日外推得到。运用上述两种方法构造了有效的数值边界条件后我们运用GKS分析和特征谱可视化方法分析格式的稳定性以获得相应参数取值,最后通过数值算例验证稳定性分析结果。此外,我们将SILW方法扩展到求解一维扩散方程初边值问题的高阶中心差分格式中。主要考虑了 Dirichlet边界和Neumann边界两种边界条件。对于双曲守恒律方程来说,边界点处的所有阶空间导数值均可以由ILW方法求出。但对于带Dirichlet边界条件的扩散方程,只有偶数阶导数可以由方程形式和边界条件求出。对于带Neumann边界条件的扩散方程,只有奇数阶导数可以由方程形式和边界条件求出。针对上述两种不同的边界条件,我们分别寻求了相应的方法求解边界处空间导数值,进而运用Taylor展开对虚拟点赋值,构造了有效的数值边界条件。而后运用GKS分析和特征谱可视化方法分析格式稳定性并得到保证格式稳定的相应参数取值,最后给出数值算例验证了算法。


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