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《中国科学技术大学》 2019年
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图和超图的嵌入及其相关问题的研究

刘博源  
【摘要】:图的嵌入问题是图论中的经典问题,本文主要研究了与图和超图的嵌入相关的几个问题:超图中给定图的完美镶嵌度阈值问题,超图的最小H-分解问题,以及树的谱极值问题.图论的基本概念和这些问题的研究背景在第一章给出.给定两个k-图H和F,图H的一个F-镶嵌是指H中的一族点不交的与F同构的子图.如果这族子图覆盖H的每一个点,则称之为H的F-完美镶嵌或者F-因子.给定1≤d≤fk-1,记td(n,F)是最小的整数t使得满足最小d-度至少为t的所有k-图H包含一个F-因子.对于某些fk-部分fk-图F,特别地对于完全fk-部分fk-图,Mycroft(JCTB,2016)确定了tk-l(n,F 的渐近值,并猜想结果中的误差项o(n)可以被取决于F的常数取代.在第二章,我们对于K3(m)改进了Mycroft的结果,将误差项用次线性项代替,其中K3(m)是指每个分部均有m个点的3-部分3-图.而且,上述结果中的次线性项对于K3(2)是紧的,即为Mycroft的猜想提供了不同于Gao,Han和Zhao(arXiv,2016)的另一类反例.最后,对于广义4-圈C43(6个点上4条边A,B,C,的超图,其中A∪B=C∪D,A A∩B=C∩D=(?)),当n充分大时我们确定了t2(n,C43)的精确值,表明Mycroft的猜想对于C43成立.在第三章,对于小阶3-图F我们研究了t1(n,F).对于完全3-部分3-图K,Han,Zang和Zhao(JCTA,2017)确定了t1(n,K)的渐近值,他们的结果可以确定tl(n,C63)的渐近值,其中C63是指定义在6个点[6]的长度为3的圈,边集为{123,345,561}.我们确定了t1(n,C63)的精确值.记K43-e为从K43删掉一条边所得的图,我们给出了tl(n,K43-e)的一个下界,否定了Han(CPC,2017)等人的一个猜想.图的分解问题是指把图划分为边不交的子图.给定fk-图H,记φk(n,H)为最小的整数使得对于每个n阶fk-图G,E(G)能被划分为至多φk(n,H)份,其中每一份要么同构于H,要么是一条单边.文献中对函数φ2(n,H)已有了广泛的研究,但对于k≥3,确定φk(n,H)值的问题广为开放.设H是2条边构成的fk-图,Sousa(2010)确定了φk(n,H)的渐近值,并对一些特殊情形确定了φk(n,H)的精确值.在第四章,对于所有2条边构成的fk-图H,我们先给出φk(n,H)的精确值,这改进了Sousa的结果.其次,对于H是由恰好r条独立边构成的fk-图,我们确定了φk(n,H)的精确值.第五章我们考虑了在图中嵌入给定树的谱极值问题.作为谱版本的Erdos-Sos猜想,Nikiforov(LAA,2010)猜想对于任何给定的k≥2,一个充分大的n阶图G如果满足谱半径μ(G)≥μ(Sn,G),则G包含所有的2fk+2阶树,除非G≌Sn,k,其中Sn,k=Kk Ⅴ Kn-k,即完全图Kk和n-k阶空图的联图.在第五章,我们证明该猜想对于直径至多为4的树成立.
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O157.5

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