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《中国科学技术大学》 2007年
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非线性人工边界条件

徐振礼  
【摘要】: 在科学和工程计算中,当数值求解无界区域上的偏微分方程的时候,通常需要引进人工边界将无界区域截断为有限的计算区域,同时在人工边界上设置合适的人工边界条件,从而将无界区域上的问题简化到有界计算区域上进行数值计算。人工边界方法在科学计算的许多领域里都具有非常重要的意义,比如弹性力学,流体力学,声学,电磁学,量子力学等等。近几十年来,大量的文献从各个方面对人工边界方法进行了广泛的研究,针对不同的问题设计人工边界条件,分析它的数值离散格式的稳定性和解的误差估计,从而使人工边界方法逐步发展成为除无限元方法,边界积分方法和边界元方法等方法外数值求解无界区域上偏微分方程的重要方法。 近些年来,人工边界方法的主要研究方向包括解析边界条件非局部算子的快速计算,高阶局部边界条件的构造,复杂区域和多维空间上的人工边界条件,以及非线性问题的人工边界条件等等。本文主要研究无界区域上非线性偏微分方程的人工边界条件,这一领域在当前尤其受到研究者特别的关注,由于大部分当前常用的研究技巧都只适合于线性问题,比如Laplace/Fourier变换和级数展开等,这些技巧通常不能直接推广到非线性情形,因而,对于非线性方程,必须寻找一些特殊的方法和技巧。本文在下列三个方面对无界区域上非线性偏微分方程的非线性人工边界条件的研究取得了进展: 首先,我们研究了非线性Schrǒdinger (NLS)方程的吸收边界条件,这也是本文的研究重点。NLS方程的吸收边界条件的构造近些年来受到了广泛的重视,近几年陆续提出了一些有效的处理方法,比如利用反散射理论来求解三次NLS方程和利用完全匹配层(PML)方法等等。本文着重于局部的吸收边界条件,在人工边界附近引入局部时间分裂技巧,然后对分裂后的线性部分引入Fourier变换,得到单向波传播方程。另一方面,对于线性部分,为了提高边界条件的精度,我们还引入了窗口Fourier变换的方法来捕捉边界附近的主要波数,从而使局部吸收边界条件能够自适应的随着波包的频域信息进行调节,达到比较理想的吸收效果。在这一部分的最后,我们还将这种分裂的吸收边界条件应用于激光与原子的相互作用领域。 其次,在第二部分讨论一些特殊的非线性方程的解析人工边界条件,我们将研究无界区域上Burgers方程和确定性的Kardar-Parisi-Zhang方程。通过应用Cole-Hopf变换,这两类方程可以与热传导方程相联系,因而采用构造无界区上热传导方程的技巧可以得到它们的准确非线性人工边界条件,所得到的人工边界条件为非局部的形式。对于Burgers方程,主要讨论一维问题,同时我们给出了等价的有界区域问题的稳定性分析结果。而对于后一类方程,我们分别给出了一到三维问题的人工边界条件的形式。 最后,本文将讨论人工边界条件在孤立子求解中的应用。在许多物理应用中,比如水波,希望得到孤立波解形式的解。求解这些问题都需要考虑特征值问题,而其实际上也是无界区的问题。在这一部分,我们只做了很基础的研究,以广义KdV方程为例数值求孤立子解,引出求解这类问题的主要思想。由于一般的广义KdV方程很难通过常用的解析工具求得孤立子解,所以称所得到的解为数值孤立子,我们同时利用这些数值孤立子研究它们之间的碰撞行为,从而可以了解一些非线性色散的机制。人工边界方法在最近三十年吸引了很多数学家和工程师的广泛关注,引申出了许多极具挑战性同时又非常重要的课题,包括超奇异积分的计算及收敛性,多维和复杂区域问题的人工边界条件,以及本文讨论的非线性问题。在这些问题中,有些技巧已日趋成熟并应用于实际的工程和科学计算,而有些则刚刚开始发展起来。由于非线性问题的复杂性,很多非线性波传播行为还很不清楚的,因而找到一种比较一般的方法求解非线性问题是很困难的。为了精确地计算无界区域上非线性问题,很多问题还有待进一步的研究。
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O241.82

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【引证文献】
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1 张俊;考虑土—结构动态接触条件下地铁车站的抗震研究[D];北京交通大学;2009年
2 陈丽;基于数值模拟软件的重力式挡墙抗震性能研究[D];西南交通大学;2010年
【共引文献】
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1 贺向丽;李同春;;粘-弹性人工边界在重力坝动力分析中的应用[J];水电能源科学;2006年01期
2 丁海平,周正华;土层地震反应的数值模拟[J];世界地震工程;1998年03期
3 常建梅,冯文杰,丁军霞;无限区域内平面SH波的散射[J];石家庄铁道学院学报;2004年03期
4 贺向丽,李同春;无限域中的动力人工边界[J];水利水电科技进展;2005年03期
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6 李顺才,刘玉庆;自然边界元法在弹性圆形薄板弯曲问题中的应用[J];陕西工学院学报;2002年03期
7 李树榜;李书光;刘学锋;;固体中圆柱形孔脉冲超声波散射的有限元模拟[J];声学技术;2007年03期
8 余德浩;计算数学与科学工程计算及其在中国的若干发展(迎接ICM2002特约文章)[J];数学进展;2002年01期
9 李芳;曹思远;孙建国;姚健;;2.5D傅氏变换法声波方程数值模拟及精度分析[J];石油地球物理勘探;2009年03期
10 李骥,张焱,张红梅,孙良田;振动采油中地层饱和多孔介质波动规律研究的新方法[J];石油钻采工艺;2000年04期
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1 李彬;刘晶波;;粘弹性人工边界在Marc中的实现[A];第14届全国结构工程学术会议论文集(第一册)[C];2005年
2 周晓岩;陶夏新;陈学良;;重力式挡土结构水平地震作用沿高度的分布[A];防震减灾工程研究与进展——全国首届防震减灾工程学术研讨会论文集[C];2004年
3 刘晶波;杜义欣;闫秋实;;粘弹性人工边界及地震动输入在通用有限元软件中的实现[A];第三届全国防震减灾工程学术研讨会论文集[C];2007年
4 刘晶波;杜义欣;闫秋实;;粘弹性人工边界及地震动输入在通用有限元软件中的实现[A];第三届全国防震减灾工程学术研讨会论文集[C];2007年
5 廖振鹏;郑天愉;;工程地震学在中国的发展[A];《地球物理学报》纪念中国地球物理学会50周年专刊[C];1997年
6 张春丽;祁月盈;刘学深;丁培柱;;双色场中高次谐波转化效率提高的数值研究[A];2006年全国强场激光物理会议论文集[C];2006年
7 李宏恩;李同春;田景元;李成;梁栋;;黏-弹性人工边界在双江口土石坝动力分析中的应用[A];第二届中国水利水电岩土力学与工程学术讨论会论文集(一)[C];2008年
8 崔建文;王锡财;;成层地基的瞬态地面运动[A];面向国民经济可持续发展战略的岩石力学与岩石工程——中国岩石力学与工程学会第五次学术大会论文集[C];1998年
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1 张立杰;地下水工隧洞地震响应的数值模拟研究[D];昆明理工大学;2010年
2 王静;Poisson方程基于椭圆自然边界归化的耦合法及误差分析[D];北方工业大学;2011年
3 赵鹏;无界区域Stokes问题基于自然边界归化的区域分解法[D];北方工业大学;2011年
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5 韩涛;基于粘弹性边界的地下厂房水力振动研究[D];大连理工大学;2011年
6 陈维;有限单元并行计算方法在地震波动模拟中的应用[D];中国地震局工程力学研究所;2011年
7 李雪强;沉积盆地地震效应研究[D];中国地震局工程力学研究所;2011年
8 卢超;微分方程的小波配点法[D];海南师范大学;2011年
9 胡颖平;剪力墙结构对等效输入的影响[D];苏州科技学院;2010年
10 罗光财;三维长周期地震动有限元数值模拟方法[D];苏州科技学院;2010年
【同被引文献】
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2 彭德红;浅谈边坡稳定性分析方法[J];上海地质;2005年03期
3 杜修力;局部解耦的时域波分析方法[J];世界地震工程;2000年03期
4 杜修力;赵密;;基于黏弹性边界的拱坝地震反应分析方法[J];水利学报;2006年09期
5 张建瑞;对挡土墙设计中几个问题的探讨[J];铁道建筑;2004年02期
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7 刘晶波;谷音;李彬;;结构-地基开放系统动力相互作用问题的高效解法[J];土木工程学报;2006年05期
8 刘晶波;李彬;;地铁地下结构抗震分析及设计中的几个关键问题[J];土木工程学报;2006年06期
9 陈学良;金星;陶夏新;陈宪麦;袁一凡;;挡土墙墙趾地震作用的波动分析[J];土木工程学报;2007年02期
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2 马芳芳;基于地震动力时程反应的有限元边坡稳定性分析[D];大连理工大学;2005年
3 朱彬;城市地下工程结构抗震分析研究[D];西安科技大学;2005年
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5 余德浩;无界区域上Stokes问题的自然边界元与有限元耦合法[J];计算数学;1992年03期
6 郑权,余德浩;无界区域上基于自然边界归化的双调和方程的一种重叠型区域分解法[J];计算数学;1997年04期
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3 谯雯;刘国明;;基于黏弹性人工边界的防洪堤动力有限元分析[A];现代水利水电工程抗震防灾研究与进展(2011年)[C];2011年
4 陈军;洪伟;;一种有效的数值吸收边界条件及其在散射问题中的应用[A];1995年全国微波会议论文集(下册)[C];1995年
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6 张吉慧;张秦岭;;关于非线性方程B(X)=F(X)的解[A];全国青年管理科学与系统科学论文集(第2卷)[C];1993年
7 梁波;王志勇;;地震条件下隧道扩大交叉断面的动力响应分析[A];和谐地球上的水工岩石力学——第三届全国水工岩石力学学术会议论文集[C];2010年
8 毛军发;李征帆;;二重一阶Mur吸收边界条件[A];1997年全国微波会议论文集(下册)[C];1997年
9 张新军;梁昌洪;赵永久;;导体柱的MEI吸收边界条件[A];1997年全国微波会议论文集(下册)[C];1997年
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1 黄尊文;军事思维模式的线性与非线性[N];解放军报;2006年
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3 韦良;以中国人命名的现代科技成果[N];中国老年报;2001年
4 记者 张孟军;我旅美科学家张首晟推导出线性方程[N];科技日报;2001年
5 熊九山;创新工程结硕果[N];人民日报海外版;2000年
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10 李宁;完美匹配层理论及其在地震波模拟中的应用[D];中国地震局工程力学研究所;2006年
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