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《中国科学技术大学》 2007年
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一些非线性发展方程(组)的辛和多辛算法

孔令华  
【摘要】: 本文主要研究了一些非线性演化方程和方程组的辛和多辛算法。用辛和多辛算法研究了对称正则长波(简称SRLW)方程和Klein-Gordon-Schr(?)dinger(简称KGS)方程组的孤立波随时间的演化情况,及其有关的守恒律。 孤立波及其理论是现代非线性科学研究的重要组成部分,它所对应的数学模型往往是线性或者非线性的偏微分方程或者方程组,它遍布现代科学研究的各个领域和角落,在流体力学,原子分子物理,等离子体物理,光纤通讯,化学化工,生物医药等诸多科学领域有广泛应用。近几十年来,孤立波方程定解问题的精确求解及其理论研究一直是科学研究的一个热门课题,取得了丰硕的研究成果。求解孤立波方程精确解的方法除了传统的反散射方法、Hirota双线性方法、Backlünd变换方法外,近年来又涌现了很多新方法,如齐次平衡法、双曲正切法,级数展开法等。虽然已经有了这么多求解孤立波方程精确解的方法,但是由于事物的复杂性,大多数定解问题还是不能精确求解的,只能通过数值方法近似求解,特别是对于非线性的情形。 一切耗散效应可以忽略不计的物理过程都可表示成能够保持辛几何结构不变的哈密尔顿系统的形式,它在自然界中具有普适性,也就是说大多数孤子方程都可以表示成哈密尔顿形式。现代数值计算的基本原则是尽可能保持原问题的本质特征。因此,研究保持哈密尔顿系统的辛几何结构特征的数值方法是必然的。为了适应这一需要,我国计算数学的奠基人冯康院士首次在1984年系统地提出了能够保持哈密尔顿系统辛结构不变的辛几何算法。随后,辛算法成为国内外计算科学讨论的一个热门课题,在这一领域涌现了一大批的研究成果。自从冯康院士提出辛算法以后,这一算法有了两次大的飞跃和发展,一次是从有限维向无限维的推广,一次是向多辛算法的深入发展。二十世纪九十年代后期,Marsden等从变分原理的角度提出了多辛积分的概念,而Bridges,Reichs从辛几何的角度提出了多辛算法,近年来这一算法得到了迅猛的发展,它已经成功地用来解决了很多现实问题,模拟了各种物理现象。 本文第一章对辛和多辛算法的相关背景作了简单介绍,对辛空间的基本知识作了简要的回顾。 第二章简单总结了构造哈密尔顿系统辛算法的常用方法,主要有生成函数法,Runge-Kutta方法,块Runge-Kutta,可分哈密尔顿系统的显式方法和构造高阶精度格式的复合方法等。本章最后还介绍了把无限维哈密尔顿系统降低为有限维系统的Fourier拟谱方法。 第三章构造了KGS方程组的一族辛格式,分析了此族格式的守恒律和收敛速度。证明了我们构造的辛格式保持电荷守恒,而且分析了它的能量误差,证明了数值解的整体截断误差和解的收敛速度均为(?)(Υ~2+h~(2m))。数值实验表明我们所构造的辛格式具有长时间的数值模拟能力,我们的理论分析是正确的。 第四章简单介绍了多辛哈密尔顿系统及其相关的守恒律。以KGS方程组为例介绍了一些构造多辛算法的常用方法,主要有Fourier拟谱方法,Gauss-Legendre Runge-Kutta方法等。对KGS方程组研究了它的多辛格式的守恒律。通过分析我们发现对KGS方程组而言,Preissman格式在加权意义下电荷守恒,而多辛Fourier拟谱方法具有经典意义下的电荷守恒律,而能量表达式由于是三次多项式,Preissman格式和多辛Fourier拟谱格式均不具有能量守恒的特征,尽管如此,用多辛格式模拟所产生的误差相对较小。我们还精确分析了能量和动量的残量。数值例子表明我们所构造的格式能够模拟各种孤立波,得到了很多有趣的物理现象。同时也说明了我们的理论分析的正确性。 第五章研究了SRLW方程的多辛格式,对它构造了多辛Preissman格式和Fourier拟谱格式。数值例子说明了格式的有效性和优越性。这一章我们以SRLW方程为例简单讨论如何把多辛格式修正成局部能量守恒格式或者局部动量守恒格式。 第六章就本文的主要内容作了简单的总结。就辛和多辛算法未来的发展方向做了简单的展望,并罗列了一些公开问题及其面临的一些挑战。
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O241.82

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【引证文献】
中国期刊全文数据库 前2条
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中国博士学位论文全文数据库 前1条
1 王廷春;某些非线性孤立波方程(组)的数值算法研究[D];南京航空航天大学;2008年
中国硕士学位论文全文数据库 前5条
1 符芳芳;发展方程保辛和多辛结构数值格式[D];江西师范大学;2010年
2 曹莹;带三次项的四阶NLS方程的多辛算法[D];江西师范大学;2011年
3 陈亚铭;一些非线性波动方程的多辛算法研究[D];国防科学技术大学;2010年
4 张星;非线性Klein-Gordon-Zakharov方程组的多辛算法[D];华侨大学;2009年
5 崔晓鹏;具有任意次非线性项的Klein-Gordon方程的辛几何算法[D];华侨大学;2012年
【参考文献】
中国期刊全文数据库 前4条
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4 孔令华;曾文平;刘儒勋;孔令健;;SRLW方程的多辛格式及其守恒律[J];中国科学技术大学学报;2005年06期
中国硕士学位论文全文数据库 前1条
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【共引文献】
中国期刊全文数据库 前10条
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8 杨力森;何一帆;;辛几何算法在电力系统暂态稳定性分析中的应用[J];电力科学与技术学报;2009年02期
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3 陈景波;;Multisymplectic Geometry and Its Applications for the Schr(o|¨)dinger Equation in Quantum Mechanics[A];中国科学院地质与地球物理研究所2007学术论文汇编(第三卷)[C];2008年
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5 ;Derivation of Lagrangian density for the“good”Boussinesq equation and multisymplectic disretizations[A];中国科学院地质与地球物理研究所2008学术论文汇编[C];2009年
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中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 花巍;玻色—爱因斯坦凝聚动力学性质的数值研究[D];吉林大学;2011年
2 董俊哲;基于Hamilton体系的非线性浅水波分析方法[D];大连理工大学;2011年
3 张澜;缺项算子矩阵的补和无穷维Hamilton算子的谱[D];内蒙古大学;2010年
4 刘洋;非标准混合元方法分析及数值模拟[D];内蒙古大学;2011年
5 钟双英;自旋致密双星后牛顿哈密顿系统轨道动力学数值研究[D];南昌大学;2011年
6 朱华君;基于小波的辛与多辛算法[D];国防科学技术大学;2011年
7 李灿华;平均间断有限元的强超收敛性及其应用[D];湖南师范大学;2011年
8 骆天舒;耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用[D];浙江大学;2011年
9 贾志东;Hamilton系统的数值迭代方法理论[D];中国工程物理研究院北京研究生部;2002年
10 吴永;约束Hamilton系统的辛算法及其在多体系统动力学中的应用[D];重庆大学;2002年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 李雪阳;变系数广义Hamilton系统的生成函数方法[D];湘潭大学;2010年
2 符芳芳;发展方程保辛和多辛结构数值格式[D];江西师范大学;2010年
3 尹磊;薄壁箱形截面桥梁弯扭分析[D];河北工程大学;2010年
4 何建华;多柔体系统动力学的辛算法求解[D];吉林大学;2011年
5 王颖;高层建筑结构动力时程分析的精细积分法[D];河北工程大学;2011年
6 向采金;分子动力学的有限元长时间计算研究[D];湖南师范大学;2011年
7 曹莹;带三次项的四阶NLS方程的多辛算法[D];江西师范大学;2011年
8 马院萍;非线性薛定谔方程的高阶紧致分裂多辛格式[D];江西师范大学;2011年
9 刘建飞;基于哈密顿原理的钢箱梁剪力滞效应研究[D];重庆交通大学;2011年
10 张扬;耦合长短波方程的多辛方法[D];上海交通大学;2011年
【同被引文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 王兰;;多辛Preissman格式及其应用[J];江西师范大学学报(自然科学版);2009年01期
2 王廷春;张鲁明;陈芳启;;对称正则长波方程的拟紧致守恒差分格式[J];工程数学学报;2008年01期
3 刘小华;张卫国;;具任意次非线性项的非线性Klein-Gordon方程孤波解的轨道稳定性[J];工程数学学报;2011年03期
4 任宗修;SRLW方程的Chebyshev拟谱方法[J];工程数学学报;1995年02期
5 郭本瑜;论离散能量法(Ⅱ)[J];高等学校计算数学学报;1985年03期
6 贺国强;一类广义KdV方程的多重守恒格式及其理论分析方法[J];高等学校计算数学学报;1994年01期
7 曾文平;高阶Schrodinger方程的哈密顿型蛙跳格式[J];高等学校计算数学学报;1995年04期
8 尚亚东,李志深;解高维广义对称正则长波方程的Fourier谱方法[J];高等学校计算数学学报;1999年01期
9 万正苏;带导数边界条件的线性双曲方程的一个二阶L_∞收敛格式[J];高等学校计算数学学报;2002年03期
10 王廷春;张鲁明;;正则长波方程的新型守恒差分算法[J];高等学校计算数学学报;2005年S1期
中国博士学位论文全文数据库 前1条
1 王廷春;某些非线性孤立波方程(组)的数值算法研究[D];南京航空航天大学;2008年
中国硕士学位论文全文数据库 前2条
1 孔令华;对称正则长波方程的辛算法[D];华侨大学;2004年
2 蒋斌;2+1维孤立波方程的多辛格式[D];南京师范大学;2007年
【二级引证文献】
中国期刊全文数据库 前7条
1 汪芳宗;何一帆;;基于辛龙格-库塔-奈斯通方法的电力系统暂态稳定性并行计算方法[J];电网技术;2011年04期
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3 刘亮;;暂态稳定分析混合算法及暂态过程对线路保护的影响[J];硅谷;2012年04期
4 汪芳宗;何一帆;;基于多级高阶辛Runge-Kutta方法的暂态稳定性并行计算方法[J];电力系统保护与控制;2011年11期
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6 张汉雄;李丹;罗志远;;基于辛RKN算法的电力系统暂态稳定性计算[J];陕西电力;2010年10期
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中国博士学位论文全文数据库 前1条
1 江涵;大规模电力系统暂态稳定并行计算研究[D];浙江大学;2012年
中国硕士学位论文全文数据库 前4条
1 曹莹;带三次项的四阶NLS方程的多辛算法[D];江西师范大学;2011年
2 庞红媛;海油平台电力系统暂态稳定分析计算[D];天津大学;2010年
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【二级参考文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 任宗修;SRLW方程的Chebyshev拟谱方法[J];工程数学学报;1995年02期
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7 曾文平;用Hyperbolic函数构造高阶Schrodinger方程的辛格式[J];华侨大学学报(自然科学版);1998年01期
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【相似文献】
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1 赵长印,廖新浩,刘林;辛算法在动力天文中的应用[J];计算物理;1992年S2期
2 刘林,廖新浩,赵长印,王昌彬;辛算法在动力天文中的应用(Ⅲ)[J];天文学报;1994年01期
3 曾进,周钢,孙薇荣;精细辛算法[J];上海交通大学学报;1997年09期
4 赵海军;杜孟利;;算法对混沌体系逃逸率的影响[J];物理学报;2007年07期
5 赵衍辉;刘宏伟;;经典哈密顿力学的辛算法[J];白城师范学院学报;2009年06期
6 贾屹峰;陈玉福;;带约束动力学辛算法的符号计算[J];系统科学与数学;2010年09期
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9 曾文平,孔令华;辛算法的发展历史与现状[J];华侨大学学报(自然科学版);2004年02期
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中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 马啸;杨顶辉;;求解波动方程的哈密尔顿型辛算法[A];中国地球物理·2009[C];2009年
2 胡伟鹏;邓子辰;;大阻尼杆振动的广义多辛算法[A];第九届全国动力学与控制学术会议会议手册[C];2012年
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5 刘福窑;;两类辛算法的稳定性比较[A];中国天文学会2007年学术年会论文集[C];2007年
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7 胡伟鹏;邓子辰;;广义五阶KdV方程的多辛算法[A];中国力学学会学术大会'2009论文摘要集[C];2009年
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10 刘滢滢;邢誉峰;;典型隔热结构瞬态响应分析方法[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
中国博士学位论文全文数据库 前5条
1 方宏远;基于辛算法的层状结构探地雷达检测正反演研究[D];大连理工大学;2012年
2 吴永;约束Hamilton系统的辛算法及其在多体系统动力学中的应用[D];重庆大学;2002年
3 张凯;电磁场问题的PML方法与哈密顿偏微系统的多辛算法[D];吉林大学;2006年
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5 孔令华;一些非线性发展方程(组)的辛和多辛算法[D];中国科学技术大学;2007年
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1 颜娜;辛算法及其相位飘移性质的研究[D];上海交通大学;2010年
2 孙威;力梯度辛算法的拓广与应用[D];南昌大学;2011年
3 李荣;几类力梯度辛算法研究[D];南昌大学;2011年
4 徐佳;哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法[D];南昌大学;2010年
5 唐贤芳;哈密尔顿偏微分方程的多辛算法[D];哈尔滨工业大学;2008年
6 刘涵;辛时域有限差分方法在电磁计算中的应用[D];南京农业大学;2009年
7 陈云龙;力梯度辛方法在圆型限制性三体问题中的应用[D];南昌大学;2013年
8 原立格;辛算法在电磁波计算中的应用[D];南京农业大学;2008年
9 危佳;辛算法在MCTDH方法中的应用[D];中国科学院研究生院(武汉物理与数学研究所);2007年
10 何建华;多柔体系统动力学的辛算法求解[D];吉林大学;2011年
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