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无网格局部边界积分方程方法研究:算法与应用

付东杰  
【摘要】: 传统的数值方法,如有限元法、有限差分法和边界元等,在科学研究和工程技术领域都得到广泛的研究和应用,特别是以有限元法为基础,发展出了大量通用实用的商业程序,形成了计算机辅助工程设计的产业。然而,有限元在一些特殊问题的求解中,如大变形、动边界等,还具有一定的局限和困难,这是由于有限元近似函数基于有限元网格所造成的。无网格方法的近似函数摆脱了网格依赖性,因此一经出现,就得到了计算力学领域的高度重视和广泛研究,短短十余年时间,发展出的各类无网格方案超过三十种,并在高速冲击、超大变形、裂纹扩展等问题都取得了成功。但是就整体而言,各类无网格方法无论是理论基础研究还是应用研究,深度和广度都有待进一步提高。从这一现状出发,本文结合无网格局部边界积分方程方法的特点,进行了理论和应用上的研究。 本文开展的工作主要围绕局部边界积分方程方法算法的进一步研究和完善,主要包括算法基本内容、奇异性处理和自适应分析等;以及应用背景的研究和扩展,主要包括声传播问题和弹塑性问题,具体内容如下: 1、算法的研究和完善 无网格方法区别于有限元等网格型的数值方法,最根本的是节点物理量的近似函数不再基于网格而基于求解域内离散的节点,但同时也造成了无网格法近似函数中的较多参数选择问题等;这些参数选择是包括局部边界积分方程方法在内的无网格算法的最基本内容。本文对包括这些参数在内的算法基本方面进行了较为详细的讨论,包括紧支权函数、局部子域半径、影响域半径、伴随解、正交基函数、边界参数化处理等方面,采用Delaunay三角分解搜寻源节点的邻节点,然后进一步根据节点的几何分布自适应地确定局部子域半径和影响域半径。 局部边界积分方程方法通过采用边界元法中的基本解,将局部子域上的面积分和体积分转化成线积分和面积分,求解区域降一维,但基本解的引入同时也造成了对边界节点的局部子域边界上的奇异积分问题。本文对正则化方法处理奇异积分问题做了进一步研究,将其扩展到处理Helmholtz问题的局部边界积分方程中的强奇异积分;通过典型算例的数值评估,正则化方法可以有效的处理Laplace方程和helmholtZ方程的局部边界积分方程方法中的奇异积分问题。此外,对求解域内节点采用局部边界积分方程,而对边界节点直接采用移动最小二乘近似函数引入边界条件,进一步提出了改进的无奇异局部边界积分方程方法。该方法避免了奇异积分问题,同时也解决了对积分边界进行插值引入近似误差的问题;数值实验展示出该方法的简单性和高效性。 局部边界积分方程方法是一种“纯”无网格方法,积分只需要在局部子域及其边界上进行,因此在自适应分析方面非常具有前景。结合移动最小二乘近似和Taylor级数展开的后处理技术,对双误差指示做了进一步的研究,提出采用节点位势导数进行双误差指示的定义。充分利用后处理技术得到更为精确的位势导数作为参考解对真实误差进行估计,提出基于局部边界积分方程方法的后验误差估计方案,数值算例表明,估计误差能够有效指示出真实误差的大小和分布。 2、应用背景问题的研究和扩展 有限元数值求解Helmholtz方程控制声场传播问题,由于要求每个波长内必须有足够的单元数来保证近似精度,因此在波数增加的时候,计算规模也迅速增加,同时增加的弥散误差也会在一定程度上“污染”计算精度。本文将局部边界积分方程方法扩展到Helmholtz方程控制下的声传播问题,充分利用移动最小二乘近似函数容易引入频率依赖的波解函数作为基函数的优势,在不需要太多节点的情况下可以极大地提高近似精度,降低弥散误差,这在高波数情况的求解中非常具有发展前景。 对局部边界积分方程方法在二维线弹性问题的应用进行了介绍和数值评估,详细推导了二维弹塑性问题的局部边界积分方程列式,进一步提出在单步循环中,对边界节点采用位移导数的正则化超奇异局部边界积分方程直接计算应变,然后得到应力来进行迭代。


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