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《中国科学技术大学》 2007年
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多复变数全纯函数空间及其算子

王雄亮  
【摘要】: 本论文主要是研究一些多复变数全纯函数空间以及几种算子.这些函数空间和算子是人们经常研究的对象.全文共分六章. 在论文的第一章,我们简要地介绍了本文常用的一些记号,定义,背景和主要结果. 在第二章,受Lipschitz空间的刻画和Lipschitz型空间等价范数的启发,我们在单位球上定义了一个加权的Hardy-Bloch型空间∧_ω~ρ,_2(B_n).我们发现Hardy-Bloch型空间∧_ω~ρ,2(B_n)是满足积分平均Lipschitz条件的Lipschitz空间的补充和延伸,并且证明它从某种意义上讲实际上就是混合模空间H_(∞,ρ,φ(B_n).与利用Poisson变换刻画Lipschitz型空间相对应的是我们通过函数的Berezin变换来刻画Hardy-Bloch型空间∧_ω,1,2(B_n)和∧_ω~2,2(B_n).Berezin变换的核是单位球全纯自同构的体积变化率,它跟函数空间理论以及算子理论联系非常密切.同时,A_ω~ρ(B_n)作为一个重要的函数类,我们还研究∧_ω~ρ,2(B_n)(1≤ρ<∞)中函数的积分平均性质. 在第三章,首先,我们研究有界对称域上经典的加权Bergman空间A~ρ(Ω,dv_s)中函数的特征,这里0<ρ≤+∞,-1<s<+∞.根据有界对称域上的Forelli-Rudin型定理,用一类线性微分算子D~(α,β)刻画加权Bergman空间A~ρ(Ω,dv_s),这是对单位球上用导数刻画Bergman空间等价范数的一种推广.利用这些特征,我们很自然的把A~ρ(Ω,dv_s)推广到加权Bergman空间A_α~ρ,β(Ω,dv_s),这里1≤ρ≤+∞,-∞<s<+∞.这种统一处理包括经典的加权Bergman空间和Besov空间.我们给出了Bergman投影在A_α~ρ,β(Ω,dv_s)上的有界性以及它的对偶空间.由于Carleson测度在函数理论中的重要性,我们利用Berezin变换和Bergman度量球也刻画了A_α~ρ,β(Ω,dv_s)上的Carleson测度和消没Carleson测度.由于此时所讨论空间的广泛性以及Carleson测度不一定是有限的,因此,得到了一些新结论并推广了经典的加权Bergman空间上的一些结果. 在第四章,我们研究单位球上的Bloch型空间B~α(B_n),考虑B~α(B_n)上的Toeplitz算子T_(μ,α),这里1≤α<2,μ是单位球B_n上的一个正的Borel测度.给出了T_(μ,α)在B~α(B_n)上有界和紧的充分必要条件,完善了单位圆盘D上同类问题的结果.我们完全刻画了B_n上使得T_(μ,α)是有界和紧的正的Borel测度μ. 在第五章,我们进一步研究Bergman空间,考虑在多圆柱D~n上,什么样的平方可积的全纯函数f和g使得稠定的Toeplitz型乘积算子T_fT_(?)在A~2(D~n)上是有界的,这里T_(?)是Toeplitz型算子,它的核不是Bergman核.Toeplitz型乘积算子T_fT_(?)与广泛研究的Toeplitz乘积算子T_fT_(?)相似.已经知道Toeplitz乘积与函数论联系紧密,也是算子理论中的一个重要研究对象.我们发现T_fT_(?)有界的必要和充分条件跟f,g的一个积分变换有关,这个结果与Toeplitz乘积算子T_fT_(?)的结论类似. 在最后一章,我们调查研究几种全纯函数空间,包括Hardy空间,Bergman空间,Bloch空间,考察了这些函数类之间的复合型算子T_(ψ,φ)T_(ψ,φ)妒定义为T_(ψ,φ)f=ψf,οφ(f∈H(B_n)),它是乘法算子和复合算子的推广.利用φ和ψ的函数特征,我们给出了单位球B_n上T_(ψ,φ)从Hardy空间H~p(B_n)到μ-Bloch空间B_μ(B_n)有界和紧的充要条件,以及单位多圆柱上T_(ψ,φ)从Bergman空间A~ρ(D~n)到Bloch空间B(D~n)有界和紧的充要条件. 总之,通过前面六章的讨论,我们更好的理解了单位球、有界对称域及单位多圆柱等域上全纯函数的性质.特别是,推广了一些经典的全纯函数空间,通过函数空间上算子的研究,进一步理解了不同函数类之间的关系.而且,加深了对算子本身的了解.
【学位授予单位】:中国科学技术大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O174.5

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