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格子Boltzmann方法的应用研究

李元  
【摘要】: 近二十年来,一种有别于传统计算流体力学方法的新方法——格子Boltzmann方法迅速发展起来。格子Boltzmann方法是1988年由McNamara和Zanetti首次提出并应用于流体力学数值模拟的。从历史来源来看,它是格子气自动机(LGA)的继承和发展。它即可以看作是LGA的推广,也可以看作是连续Boltzmann方程的一种特殊离散形式。传统的计算流体力学方法是对宏观连续性方程的离散,而格子Boltzmann方法则是基于统计物理,以极其简单的形式描述粒子的微观行为,在宏观上反映流体的运动。该方法的特征使得它有望成为沟通宏观与微观的桥梁。与此同时,格子Boltzmann方法有着计算简单,易于并行等优点,这使得它在诞生后即得到了飞速发展。 本文围绕格子Boltzmann方法进行讨论。首先简要介绍了方法的特点,历史来源,以及其发展和应用。随后介绍了一些经典的格子Boltzmann模型,包括早期DnQm模型,He Xiaoyi和郭照立对不可压Navier-Stokes流的格子Boltzmann模型,以及周建国的在浅水方程上的模型。对于在一般非线性方程上的推广应用,介绍了阎广武的非线性Burgers方程的格子Boltzmann方法。在他的方法中,平衡分布函数的确定不再是由微观物理性质来决定,而是根据相应的宏观方程,以多尺度分析为手段通过待定系数来确定。他的这一思想扩大了格子Boltzmann方法的应用泛围。在他之后,格子Boltzmann方法被应用到许多不同的非线性方程中。特别的,对交通流中的红绿灯模型,我们详细介绍了它的来源和理论分析,提出相应的格子Boltzmann方法,并给出了它的稳定性分析结果和数值模拟结果。 与此同时,边界条件在流体运动中非常重要。在由宏观向微观过渡时(Kn数从小于0.001变化到0.1左右),边界条件一般的也由固壁无滑移过度为滑移。对于格子Boltzmann方法,已有的边界处理格式对无滑移情形,和特定角度的滑移情形可以取得令人满意的结果。但对曲边界(包括任意角度斜边界)上的滑移边界并没有相应的处理方法。现在的处理方案是通过帖体坐标变换转化为可以处理的情况。本文比较详细的介绍了格子Boltzmann方法的边界处理格式,包括基本的反弹格式,动力学边界处理等,也包括曲边上无滑移边界处理和特定角度下滑移边界的处理格式。并在此基础上对曲边(部分)滑移边界情形做了一些尝试,分析其中不满足预期目标的原因,为设计曲边上滑移边界格式提供参考。 对格子Boltzmann方法的理论部分,已有一些非常好的结果,但总体上尚不完善。本文选择稳定性和截断误差这两个方面来简要介绍格子Boltzmann方法的理论。在截断误差分析部分,作者曾仿照着对浅水模型的格子Boltzmann方法做了相应的分析,得出类似的结果,但限于篇幅,不在文中做完整的推导。 本文的主要工作包括以下几个方面:对于浅水模型的格子Boltzmann方法,发现它不能应用于大水深比的模拟,通过推导解释这一现象的原因,与此同时将浅水模型的格子Boltzmann方法应用于射流情形下的数值模拟:将格子Boltzmann方法应用于交通流中的红绿灯模型,设计了相应的格式,分析了格式的稳定性,通过与其他数值方法结果的比较,说明了该格式的有效性;多方面尝试处理曲边滑移边界,分析其不可行的原因所在,为设计出新的边界处理提供参考。


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