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信息安全中的常循环码理论研究及应用

王立启  
【摘要】:纠错码理论不仅是信息安全的理论基础,而且是量子信息的理论基础。有限域上的经典纠错码在理论上日趋完善,在生产实践中也被广泛加以应用。随着纠错码理论研究的不断深入,有限环上纠错码的理论价值和实际意义也逐渐被人们所认识。有限环上纠错码理论研究成为近年来编码理论研究的热点,而有限环上的常循环码(包括负循环码和循环码)理论研究则是有限环上纠错码理论研究的重点。1998年,Calderbank等人建立了量子纠错码理论的数学形式,并给出了利用纠错码构造量子纠错码的系统而有效的构造方法,此极大推动了纠错码在量子信息中的应用。本文的研究以有限环上常循环码的理论研究为基础,以量子纠错码的构造为应用。在常循环码理论研究方面:首先,研究了环Fpm+uFpm上长为2ps的负循环码,其中u2=0。分类了该长度负循环码的结构,给出了其计数,并研究了该负循环码的对偶码,给出了负循环自对偶码存在的充要条件。其次,定义了环F2+uF2+u2F2+u3F2到F24的一个新的Gray映射,其中u4=0。证明了该环上长为n的(1+u+u2+u3)-常循环码的Gray象是F2上长为4n的循环码。进一步确定了该类型常循环码在Gray映射下象的生成多项式,并得到了一些最优的二元线性循环码。最后,研究了环F2+uF2+vF2+uvF2上长为2s的(1+u+v)-常循环码,其中u2=v2=0,uv=vu。分类了该长度该类型常循环码的结构,并给出了其计数,同时根据该分类给出了其对偶码的结构,并给出了该类型常循环自对偶码存在的充要条件和计数。在量子纠错码的构造方面:首先,利用有限域Fq2上的常循环码结合经典的Hermitian构造,构造了两类新的具有相对较大极小距离的量子MI)S(maximum-distance-separable)码。其次,利用有限域Fq上长为2ps的重根循环码结合Steane扩展构造,构造了三类新的参数较优的量子重根循环码。再次,利用有限域Fq2上的常循环码结合经典的CSS(Calderbank-Shor-Steane)构造,构造了六类新的具有较大非对称性的最优非对称量子码。最后,利用有限域Fq2上的常循环码结合Piret构造及La Guardia给出的构造方法,构造了四类新的最优量子卷积码。


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