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(向量)有理插值存在性的研究

陶有田  
【摘要】: 有理函数插值理论及其应用是有理逼近研究的重要组成部分,其在唯一性、算法及误差估计等方面均取得了很多研究成果,尤其在算法的研究上更是如此。然而对于任意事先给定的插值条件,有理插值函数并不总是存在的。而其他结果诸如唯一性、算法、误差估计等,在叙述其结论时也总是假定所讨论的有理插值函数是存在的。如果存在性问题得不到很好的解决,则势必影响这些结果在使用上的确定性。已有的对有理插值存在性的研究,多是采用Lagrange基函数或相近的方法来进行的,计算量颇大,不利于实际的运用。 本文首先讨论了型值点的几何分布对有理插值存在性的影响,接着运用一元及二元Newton汇集差商给出了几种判断有理插值及切触有理插值函数是否存在的快速、实用的算法。本文共分四章。第一章回顾了有理插值的研究背景及其与有理插值存在性的研究现状。 第二章介绍了一元有理插值存在性的两个重要结论,接着从型值点的几何分布研究了有理插值的存在性,给出了判断有理插值存在的直观的方法。 第三章研究了一元切触有理插值的存在性。本章利用一元Newton插值多项式给出了一种判别切触有理插值存在性的代数方法,并在判断出相应的有理插值函数存在时,直接地给出了它的具体表达式。 第四章主要讨论了二元有理插值的存在性。首先,利用二元Newton多项式插值公式,给出了判断二元向量值有理插值存在性的代数方法。接着给出二元切触有理插值的存在性的判别方法,并将这种方法推广到了二元向量值切触有理插值的情形,得出了相应的结果。本章中我们给出的方法更加简便、实用:在有理插值函数存在时,可直接给出它们的显式表达式。并且这种方法还一定的承袭性。


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