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基于三角多项式曲线曲面的几何造型理论与方法研究

苏本跃  
【摘要】: 几何造型和处理的研究,起源于早期的几何设计的应用驱动。虽然近年来国内外设计系统主要采用NURBS曲线曲面为标准的数学描述方法,但仍有许多数学模型或方法问题亟需解决。特别是在新的工业产品设计任务驱动下,以及对产品设计要求不断提高的背景下,原有的方法显然受到了极大的挑战,这就需要在研究内容与手段上推陈出新。因此三角样条与代数样条的融合一时成为了新的研究热点。鉴于此,本文对基于三角多项式的几何造型理论与方法展开了深入探讨。主要研究工作及成果如下: ●在自由型曲线曲面的造型方法方面 (1)构造了Bézier型及B样条型代数三角混合多项式曲线曲面,这类曲线曲面继承了相应的Bézier曲线曲面以及B样条曲线曲面的基本性质,如端点性质、对称性、几何不变性、凸包性以及C~n连续性等。 (2)构造的Bézier型及B样条型代数三角混合多项式曲线曲面提供了一个形状控制参数,用户除了利用控制顶点调节曲线曲面形状外,还可以通过形状控制参数调整曲线曲面形状,增强了曲线曲面形状调整的灵活性。而且在几何连续性的意义下,曲线曲面形状的调整可以是局部的也可以是全局的。 (3)引入的局部控制参数调节曲线形状可以使得曲线变化的范围更大,使得定义的曲线包含了同阶C-Búzier曲线及C-B样条曲线,同时,选取合适的控制参数可以使曲线从两边逼近同阶的Bézier曲线及B样条曲线。另外,对于固定的参数t,形状控制参数α的改变和与此对应的曲线上相应点的位置偏移幅度dp(α,t)呈线性关系,因此使得利用控制参数来调节曲线形状的过程变得较为简单。 (4)选取合适的形状控制参数以及合适的控制顶点,提出的Bézier型及B样条型代数三角混合多项式曲线曲面可精确表示一些常用的圆锥曲线和心脏线、摆线、螺旋线等超越曲线以及椭球面等二次曲面。 ●在插值型曲线曲面的造型方法方面 (1)提出了一种B样条型以及含参数B样条型代数三角混合插值样条曲线曲面造型方法。该方法继承了相应的B样条曲线曲面的某些基本性质,如权性、对称性、C~2连续性等。与B样条插值曲线相比,无需求解方程组反算控制点即可使构造的插值样条曲线曲面通过给定的型值点,同时提供了局部控制参数增加曲线控制的自由度,以满足用户局部调节曲线曲面形状实现光顺处理和保凸保形等要求。另外,由于插值对边界条件并不敏感,因此操作员对曲线形状易于控制。与α-样条([TL99])相比,本文构造的插值曲线在插值控制顶点时与控制参数α无关,控制参数α的变化也不会影响曲线原有的高阶连续性,而α-样条只有在α=0时曲线才插值相应的控制顶点,此时,曲线原有的高阶连续性将不再保持,只能达到C~0连续. (2)提出了两类基于Hermite型的三角多项式插值样条曲线曲面造型方法。该方法通过引入张力参数使得构造的曲线具有“可变阶”特征,可有效消除一些多余的拐点。与三次多项式插值样条曲线相比,当张力参数满足一定的条件(即均大于2)时,无需求解方程组即可使构造的插值样条曲线曲面通过给定的型值点且保持C~2连续性。同时张力参数提供了额外的自由度。当需要调整曲线曲面形状时只需改变相应点处的张力因子,调整是局部的,也可以是整体的。 (3)提出了一类定义在圆弧上的圆弧三角Hermite插值样条。与文献[AS95]中提出定义在圆弧及球面上的三角Bernstein-Bézier多项式曲线曲面相比,我们提出的方法是插值型的,而非逼近型的,只需求解一个三对角线性方程组即可构造出C~2连续的插值样条。而文献[AS95]中的方法则必须反算控制顶点,由于基函数由三角函数构成,使得这个反算过程,包括C~2连续性拼接等显得较为复杂,这也使得用户对曲线曲面形状的控制较为困难。与传统的三次多项式插值样条以及Bézier方法、B样条方法相比,我们提出的方法主要基于圆弧上的重心坐标,这就为某些空间曲线曲面的造型或特殊要求下的曲线曲面建模提供了简便途径。 ●在Skinning曲面的设计方面 提出了基于代数三角混合插值(ATBI-)样条的Skinning曲面设计方法。 (1)由ATBI-样条代替传统的B样条设计Skinning曲面,避免了求解方程组反算控制点。新的设计方法既满足高阶连续性要求,又能够使得设计员可以直接面向关键位置和关键位置处的截面曲线的朝向进行操作。从而减少了曲面设计的难度。 (2)将扫掠曲面的设计方法和摆转曲面的设计方法结合起来,既回避扫掠曲面中所有的截面曲线需要预先一一设定,又回避摆转曲面中轮廓线只能绕着空间坐标系xyz的z轴摆转的局限。将Skinning曲面看作是一条基线(或体)沿脊线运动而生成,在运动过程中辅以必要的旋转与伸缩,可进一步提高Skinning曲面生成的灵活性。 (3)对于一些由特殊的截面曲线生成的Skinning曲面,在设计预处理时采用了将截面曲线与脊线分别在不同坐标系下各自生成的方法,提出了基于混合坐标系的Skinning曲面设计方法,可以进一步提高曲面的设计精度。


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