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带有扰动的Padé型逼近

吴国辉  
【摘要】: 近几十年来,函数逼近在理论研究和实际应用中均获得重大进展,它不仅是数值分析的基础,同时在微分方程数值解等方面起着重要作用。具体说来,函数逼近所涉及的问题是:在某一区间上,如何用简单函数逼近已知复杂函数。通常,上面所提及的简单函数包括:(1)多项式函数;(2)分段多项式函数;(3)有理分式函数。诚然,多项式方法是函数逼近的一种很好的工具,但采用它进行函数逼近时存在一个很明显的缺陷。例如:当函数具有极点时,用多项式逼近的效果较差。此时,我们采用有理函数进行逼近。 实际上,大量的研究表明有理逼近是很有意义的,这也是为什么近20多年来它受到重视的原因。系统地说,得到有理逼近的方法主要有以下几种:(1)Padé逼近;(2)Chebyshev-Padé逼近;(3)连分式。然而,就传统的有理逼近方法而言,其不足之处在于:计算量较大,而且算法缺乏继承性。本文,我们依次介绍了带有多个扰动参数以及一个扰动参数的经典Padé逼近。考虑到奇、偶函数的特殊性,在带有一个参数的扰动Padé逼近中,我们给出了这两类函数的扰动逼近表达式,并探讨了其原函数与导数的扰动逼近表达式之间的关系。在此基础上,我们提出了带有扰动的Chebyshev-Padé逼近,这种逼近方法能够弥补带有扰动的经典Padé逼近的不足,且还具有以下优点:(1)通过调整扰动参数,我们可以得到新的阶数下的逼近式,而无需重新计算;(2)在大致相同的精度下,我们的方法所需的时间复杂度更小;(3)给出了相应的误差估计,从而便于在误差容许范围内大致地给出满足条件的逼近式。最后,我们以具体的数例说明了文中的结果。


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