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有理函数逼近若干问题研究

唐杨新  
【摘要】: 有理函数插值理论及其应用是有理逼近研究的重要组成部分,唯一性、算法及误差估计等方面均取得了很多研究成果,特别在算法的研究上更是如此。然而对于任意事先给定的插值条件,有理插值函数并不总是存在的。而其他结果诸如唯一性、算法、误差估计等,在叙述其结论时也总是假定所讨论的有理插值函数是存在的。如果存在性问题得不到很好的解决,则势必影响这些结果在使用上的确定性。已有的对有理插值存在性的研究,多是采用Lagrange基函数、Newton基函数或相近的方法来进行的,计算量较大,不利于实际的应用。 本文讨论了型值点的几何分布对有理插值存在性的影响,运用一元Newton基函数及广义Vandermonde行列式给出了向量值有理插值的迭加算法及切触有理插值函数是否存在的快速、实用的算法。 本文共分四章。第一章回顾了有理插值的研究背景及其有理插值存在性的研究现状。 第二章介绍了一元有理插值存在性的两个重要结论,接着据此从型值点的几何分布研究了有理插值的存在性,给出了判断有理插值存在的直观方法。 第三章研究了一元切触有理插值的存在性。本章利用一元广义Vandermonde行列式给出了一种判别切触有理插值存在性的代数方法,并在判断出相应的有理插值函数存在性时,也直接给出了它的具体表达式。 第四章主要讨论了二元向量有理插值的迭加算法及二元向量切触有理插值的表现公式。首先利用一元Newton多项式插值公式,给出了二元向量有理插值的迭加算法。其次给出二元向量切触有理插值的表现公式。本章中我们给出的方法更加简便:在有理插值存在时,可直接给出它们的显式表达式。


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