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奇摄动方程和分数阶方程的计算方法

蔡新  
【摘要】:本文由二部分组成,第一部分研究奇摄动问题的数值方法,第二部分研究分数阶微分方程的数值方法。 本文主要考虑边界层型奇摄动问题,当小参数ε→0时,奇摄动问题的解作为小参数ε的函数,在边界层区域内变化很大,具有边界层奇性。 传统的差分方法不适合于这类问题的计算。特别地,基于中心或迎风差分方法的逐点误差在一致网格上是与ε的负次幂成正比,因此人们更感兴趣于与ε无关的数值方法,即一致收敛的数值方法。 近十年来最流行的差分方法是Shishkin网格法,为了提高其收敛阶,人们采用Bakhvalov思想,构造了Bakhvalov-Shishkin网格法。本文在Shishkin网格法的基础上提出了多过渡点方法。多过渡点方法是完全不等距的差分格式,具有Bakhvalov-Shishkin格式相同的计算精度,而计算复杂性与Shishkin格式相当,因此它是一个实用有效的方法。多过渡点方法的主要思想是:根据奇摄动问题边界层的性质,提出多过渡点的选取方法,然后构造多逐段离散网格函数作为闸函数,进一步估计截断误差,证明中采用了一些传统Shishkin网格法所没有的技巧。 整数阶微分方程数值方法的种种技巧早已应用于求解分数阶微分方程。然而直到最近3年,分数阶微分方程数值方法的理论证明才得到发展,尤其是稳定性和收敛性,其证明工作刚刚开始,有一定难度,急需进一步发展和完善。 目前分数阶偏微分方程数值解的工作皆以抛物型方程为主要研究对象,数值方法全部采用有限差分方法,并且要求分数阶导数项前的系数与时间t无关。本文的证明方法完全不同于前人,分数阶导数项前的系数可以是变量x和t的函数,差分格式按无穷大范数稳定和收敛。由于证明方法不同,本文数值方法的稳定性是指按初值稳定和按右端稳定,而前人所证明的稳定性是指按初值稳定。 第一章介绍了奇摄动问题常见的数值方法,介绍了分数阶微分方程在理论和数值方法的研究情况,并将本文的工作与前人的工作做了全面的比较。 第二章研究奇摄动对流-扩散问题,选取了多过渡点,构造多过渡点格式并证明格式是O(N~(-1))阶一致收敛,这里N是指网格剖分数目。 第三章研究奇摄动对流 扩散弱奇性Robin问题和强奇性Robin问题。对弱奇性Robin问题构造Shishkin格式,证明格式是O(N~(-1)lnN)阶一致收敛;对强奇性Robin问题构造多过渡点格式并证明格式是O(N~(-1))阶一致收敛。 第四章研究二类奇摄动抛物型方程,一类是在空间导数项前含有小参数ε,我们在空间x上选取多过渡点;另一类是在时间导数项前含有小参数ε,我们在时间t上选取多过渡点。对这二类奇摄动问题分别采用多过渡点格式并证明格式是一致收敛的,改进了前人的结果。


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