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退化抛物方程的若干问题

张丽琴  
【摘要】: 本文讨论了非线性退化抛物方程的几个问题,全文分为三部分. 第一章讨论下面非线性奇异抛物方程的初边值问题重整化解的存在性及惟一性这里f∈L~1(Q),g∈(L~(p')(Q))~N,p'=p/(p-1),a(u,▽u)对|▽u|满足p-1次增长条件和单调性条件.此类问题来源于化学反应扩散问题.一般地,这类方程不存在弱解,原因是a(u,▽u)不属于(L_(loc)~1)~N且由于g∈(L~(p')(Q))~M,H(u)(f+divg)的意义不明确.为了克服这些困难,我们在本章利用重整化解的理论讨论比通常弱解更弱的解的存在性,即重整化解的存在性.重整化解的概念是Lions和Di Perna在研究Boltzmann方程中提出的,后来被应用到一类非线性抛物方程.本章的贡献在于利用重整化解的理论和技巧克服了由H(u)(f+divg)项带来的困难,证明了其重整化解的存在与惟一性. 第二章是研究p-Laplace方程ut=div(|▽u|~(p-2)▽u)和带有的吸收项的p-Laplace方程ut=div(|▽u|~(p-2)▽u)-u~qCauchy问题和Dirichlet问题弱解u_p(x,t)当→∞时的渐近极限性质.对于Cauchy问题,Evans[21]对初值u_0(x)具有紧支集情形讨论了弱解的渐近极限,明确给出弱解u_p(x,t)当p→∞时的渐近极限;当初值u_0(x)不具有紧支集时,易青和赵俊宁教授[34]证明了存在{u_p)的子列{u_(pj)}和函数u_∞∈C(R~N),使得对任意紧集G(?)Q_T有在G上一致成立.在本章,我们改进了上述结果,对Cauchy问题和Dirichelet问题证明了解序列{u_p}极限的唯—性,从而给出解序列的整体渐进性质,即:在R~N的任何紧集G上一致成立. 第三章首先对L_(loc)~1(R~N)初值和强非线性热源的p-Laplace方程的Cauchy问题讨论解的局部存在性.证明了当sup_x∈R~N(∫B_ρ(x)|u_0(y)|~hdy)~(1/h)∞,其中当qp-1+p/N时,h=1,当qp-1+p/N时,hN/p(q-p+1),则所论问题存在局部解. 本章还对具有特殊扩散系数的p-Laplace方程讨论了解的整体存在性及解的性质.得到结果如下:设1pN,λ0,0αN,u_0(x)∈L~∞(Ω),在Ω上u_0(x)≥0.并记λ_(N,p)=((N-p)/p)~p. 定理1若u_0∈W~(1,p)(Ω),λλ_(N,p),对任意1pN,则问题(*)存在整体解. 定理2若λλ_(N,p),1pmin(2N/(N+2-α),2),则问题(*)存在整体解. 定理3若λλ_(N,p),2N/(N+2-α)p2,则存在有限时间T~*依赖于N,p,λ,|Ω|,使得问题(*)的解u(x,t)有, 定理4若λ≤μ_(N,p),1pmin(2N/(N+2-α),2),其中μ_(N,p)]=λ_(N,p)(s-1)(p/(p+s-2))~p,s=(N-α)(2-p)/(p-α)2,则存在有限时间T~*依赖于N,p,λ,|Ω|,使得问题(*)的解u(x,t)有,


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