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空间分数阶对流—扩散方程的数值解及其应用

刘青霞  
【摘要】: 分数阶微分方程是指方程中含有非整数阶的导数,它非常有效地描述各种各样物质的记忆和遗传性质,在工程、物理、金融、水文等领域中发挥了越来越重要的作用。遗憾的是,大多数分数阶微分方程的解析解都含有复杂的级数或者特殊函数,不利于进行近似计算。于是对分数阶微分方程进行数值求解变得尤其重要。目前分数阶偏微分方程数值解的工作皆以抛物型方程为主要研究对象,数值方法多采用有限差分方法。本文也是采用差分法讨论抛物型方程,有所不同的是两类分数阶微分方程比较复杂。 本文所讨论的第一种抛物型方程是从随机游走和一种随机过程的稳定分布推导出的Lévy-Feller对流-扩散微分方程,方程中含有较复杂的分数阶导数—Riesz-Feller分数阶导数,它含有双侧分数阶导数,并且含有倾斜度参数,是一种非对称的分数阶导数。这使得方程的离散处理起来变得复杂。 本文所讨论的第二种抛物型方程是从渗流问题中推广得到的高维分数阶对流-扩散方程,分别讨论了二维和三维情形的数值解。如果采用一般的差分方法离散此微分方程,得到的差分方程在计算过程中的计算量非常庞大,因此本文参考整数阶高维情形的处理方法,提出了几种修正的交替方向法。但是与整数阶方程不同的是,在三维情形中,分数阶导数的复杂性使得在构造差分格式时所添加的摄动项也非常复杂,由此所构造差分格式的理论分析也变得比较复杂。 第一章讨论了本论文的研究背景和意义,总结了前人所做的工作,给出本论文的研究内容和结构。 第二章中首先给出本文中用到的各种分数阶导数的定义及其性质,然后从随机游走和一种随机过程的稳定分布中推导出第三章讨论的Lévy-Feller对流-扩散方程;从渗流问题中推导第四章和第五章讨论的高维空间分数阶对流-扩散方程。 第三章讨论描述服从某种稳定分布反常扩散的非对称空间分数阶对流-扩散方程——Lévy-Feller对流-扩散方程,首先利用Fourier变换和Laplace变换给出方程的基本解,然后利用Grünwald-Letnikov分数阶导数移位离散算子离散方程中的Riesz-Feller分数阶导数得到离散格式,证明此格式可以解释为离散随机游走模型,并且证明了当时间和空间步长以一定的比率同时趋于0时,所提出的离散随机游走模型收敛到Lévy-Feller对流-扩散过程的稳定分布。接下来提出求解有界区域内的Lévy-Feller对流-扩散微分方程的显式差分格式,并且利用前面随机游走模型中的结论证明了显式格式的稳定性和收敛性。 第四章讨论带有不同边界条件的二维多孔介质中两类分数阶渗流方程的数值模拟:提出一种修正的交替方向隐格式——分数阶Euler隐格式求解均匀介质中的非连续渗流方程,对所提出的格式进行稳定性和相容性分析;提出修正的Peaceman-Rachford格式求解非均匀介质中的连续渗流方程,给出稳定性和相容性分析,并且采用Richardson外推技巧,将离散格式的逼近阶数提高到二阶。 第五章讨论三维多孔介质中两类分数阶渗流方程的数值模拟:一种是均匀介质中的非连续渗流方程,另一种是非均匀介质中连续渗流方程。提出一种修正的交替方向隐格式逼近均匀介质中的非连续渗流方程,以及修正Douglas格式逼近非均匀介质中的连续渗流方程。并且讨论了两种格式的稳定性、相容性。对于修正Douglas逼近格式还进行了Richardson外推提高逼近阶数。另外每一章均给出数值例子显示所采用数值方法的可行性。


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