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《厦门大学》 2008年
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随机二叉树期权定价模型及模拟分析

傅德伟  
【摘要】: 上个世纪七十年代以来金融衍生产品的发展,是金融史上影响最为深远、最激动人心的变化之一。过去二十多年来,金融衍生产品始终保持了旺盛的生命力。在众多的金融产品中,期权居于核心的地位。大量的结构化产品,如牛熊证、高息票据(ELN)、保本票据等,都包含了期权的成分。 自从期权交易产生以来,尤其是股票期权交易产生以来,大量学者一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年,Fischer Black和Myron Scholes提出了著名的Black-Scholes期权定价模型(简称B-S模型)。B-S模型问世以来,在学术界和实务界引起强烈的反响,受到普遍的关注与好评,有的学者还对其准确性进行了多角度的检验。为了完善与发展B-S模型,很多研究对其进行了扩展。其中Cox,Ross和Rubinstein(1979)提出的二叉树定价公式,简单并且直观,作为B-S模型的离散形式,得到了广泛应用。 本文以期权为对象,在全面综述已有期权研究方法的基础上,着重分析了期权定价的二叉树方法和三叉树方法,包括最近发展的模糊二叉树模型和模糊三叉树模型。然后在CRR二叉树定价模型基础上进行了一定的探索和创新。在现实的金融市场中,波动的异方差性广泛存在,即实际中的股票波动性不是确定的(异方差),而是随机的。在传统的二叉树模型中,代表股票上涨和下降的幅度参数u和d是事先就知道的固定参数,在整个n个时期中都保持不变,也就是说股票的波动性是保持不变的。实际上,当n很大时,即考虑的时间跨度比较大时,股票收益率的波动性不是固定的。为了将股票收益率的波动性是变化的这一情况反映到模型中,本研究将u和d考虑为随机变量,从而将期权的定价转化为计算一个随机变量数学期望的问题。在这样的思路下,模型中的随机参数按照不同的分布,就可以得到对应的期权定价。参数分布选择越接近真实,定价效果就越好。 为了得到具有真实含义和可以计算的期权定价公式,本文根据参数的特点和实际含义,假设二叉树参数服从一些特定的分布,包括β分布、正态分布等比较接近实际且能够计算的随机分布,然后通过复杂的数学计算,得到了这些随机分布下的二叉树期权定价公式。 (Ⅰ)在第一个随机参数二叉树定价模型中,我们使用了β分布。根据模型中参数的实际意义,(?)和(?)都是介于0和1之间的连续随机变量,而β分布是那些介于0和1之间的比率的随机变量的最常用的假设分布之一,因此我们假设(?).和(?)是独立随机变量且分别服从Beta(.;β_1,β_2)和Beta(.;α_1,α_2)的情况下,经过详细论证,我们得到的期权定价公式是: 尽管A(k)和B(k)的形式非常复杂,但由于这两个数列都是绝对收敛的,因此在实际计算中可以采取近似估计,而且这个公式是完全的离散形式(表达式中没有积分),可以比较快的通过计算机得到近似结果,是一个可以在实际中应用的定价公式。 (Ⅱ)在第二个随机参数二叉树定价模型中,我们使用了正态分布。由于模型中定义的新随机变量X~*=(?)和Y~*=(?)是-∞到+∞之间的连续随机变量,因此假设了X~*和Y~*服从正态分布。在此假设下,我们得到新的期权定价公式是: (Ⅲ)在第三个随机参数二叉树定价模型中,我们进一步假设无风险利率也是随机的,并选取三变量正态分布进行计算,得到的期权定价公式是: 这些特定随机分布假设下的改进模型,其解析解并无法直接计算,需要通过数值计算方法才能得到具体的期权定价。本研究采用了数学中的Hastings-Metropolis算法和重要取样的Monte-Carlo数值积分方法,就公式的实现问题进行了详细分析。 我们使用我国证券市场中的五粮液认购权证和认沽权证,香港市场中瑞士银行发行的建设银行权证的实际数据,采用B-S模型(由于本文考虑的模型是n很大时的情况,此时CRR二叉树定价和B-S公式定价是非常接近的)和β分布下的随机参数二叉树模型(公式Ⅰ)分别进行了模拟研究。结果发现: 第一,尽管B-S模型在数学形式上要比本文推导的随机参数二叉树模型简单,但实际定价效果看,两者相差不大。这表明B-S模型尽管看似假设多、形式简单,但实际上与随机形式下的定价结果很接近。B-S模型形式简洁、计算简单、结果比较准确,应用面广,这也是三十多年来没有任何一个期权定价模型完全超越B-S模型的原因所在。 第二,对于五粮液认购权证和认沽权证,B-S模型和本文推导的随机参数二叉树模型都相差很大,两个理论模型的结果与实际价格的模拟效果都很差。香港市场的建设银行权证中实际价格与理论价格相对比较接近。 第三,对于五粮液认沽权证,B-S模型与随机参数二叉树模型模拟效果都比较差,这并不能说明模型本身存在问题,主要是我国证券市场中认沽权证的非理性炒作造成权证价格极度偏离其内在价值。 本研究结合作者的工作实践,在拓展二叉树定价方法上进行了一定的探索。但限于水平和精力,模型还存在一些缺点和不足之处。从理论方法上看,作者先后尝试过几种可以考虑的,与现实比较接近的随机变量分布,但何种假设是更加接近真实的,这个问题没有得到很好的解答。从模型推导看,最终得到的公式比较复杂,在实际计算中需要高深的计算数学方法和较为复杂的编程来辅助解决。从实证研究的效果看,由于国内没有真正的期权,而权证由于数量少,价格被人为操控的迹象比较明显,与正股的关联度比较低,与成熟市场差别较大,使得实证研究的可靠性和可信性大大下降。随着我国未来推出真正的交易所期权,相信有了更多更好的实际市场数据,会对模型的检验和改进起到更好的效果。
【学位授予单位】:厦门大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:F224;F830.9

【引证文献】
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