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H系统热流的整体存在性和部分正则性

黄涛  
【摘要】: 本文主要研究H系统热流方程弱解的整体存在性和部分正则性以及奇点的奇性分析. H系统方程来源于微分几何,具有悠久的历史,它和几何中许多重要的问题,例如极小曲面问题、Plateau问题等都有非常紧密的联系.它和其他来源于微分几何的方程,如调和映射方程等都是变分学所关心的主要问题. 1900年,Hilbert[50]在世界数学家大会上提出的著名的23个公开问题中就有三个涉及变分问题,这充分凸显了变分方法的重要性,也使得变分学在20世纪迅速发展.变分学中一系列新方法、新理论的提出使这些来源于微分几何的方程成为人们关注的焦点问题,由此也得到了许多存在性和正则性的优美结果. 本文所采用的研究方法是热流方法,该方法是1964年Eells和Sampson[35]在研究调和映射方程时引入的.关于调和映射热流的研究吸引了人们的注目,并取得了丰硕的研究成果.H系统热流方程和调和映射热流具有类似的非线性增长,这表明他们之间可能会有很多相似的性质.但是两者存在本质的区别,调和映射热流是Dirichlet能量的梯度流,对Dirichlet能量自然的满足能量不等式,这表明解的Dirichlet能量是衰减的,这是得到解的全局存在性和部分正则性的关键所在.遗憾的是,H系统热流对Dirichlet能量是否具有能量不等式还是个公开问题,这正是研究H系统热流方程的难点所在. 关于H系统热流弱解的整体存在性和部分正则性已经有一些结果,在二维情形,1990年,O.Rey[76]在(?)1的假设下,证明了H系统热流方程全局正则解的存在性.2002年,对一般u_0∈H~1(Ω),X∈H~(?)((?)Ω)的初边值, Chen-Levine[24]证明了方程直到第一次爆破时间前存在唯一正则解,在方程的解满足一个强制性假设,即满足能量不等式的假设下,她们证明了方程全局弱解的存在性,这个全局解除去有限个点外是正则的,并讨论了奇点处的bubble现象.对于高维情形结果还非常的少. 本文主要在以下几个方面发展了前人的结果: (1)在二维情形,我们去掉了Chen-Levine[24]中关于解满足Dirichlet能量不等式的假设,给出了Dirichlet能量的一个和时间有关的估计,用经典的脱靴方法,证明了对任意的时间,H系统热流方程弱解存在且唯一,并且这个弱解对任意的有限时间最多只有有限个奇点. (2)在二维情形的有限奇性时刻,我们证明了bubble现象只能产生在区域的内部.同时给出了H系统热流方程存在有限时刻爆破的例子,说明在某些特殊情况下,方程存在有限时刻爆破. (3)得到了二维情形有限时刻处奇点的精确结构,证明了有限时刻的能量等式,表明爆破前的能量等于爆破之后弱解的能量与产生的bubble的能量之和.在这一点上, Chen-Levine[24]只得到了一个不等式. (4)对高维H系统热流,当边界值X∈C~(2+α)(?)时,在(?)1的假设下,或者在(?)≤1并且初值u_0具有充分小能量的假设下,我们都可以证明H系统热流方程存在一个全局正则解.当方程的解满足能量不等式时,我们也证明方程存在一个全局弱解,这个弱解除去有限个奇点外是正则的,在这些奇点处有和二维问题相似的bubble现象(集中现象),并且在每个奇点上只有有限个bubble. 全文共分四章. 第一章介绍了H系统方程和H系统热流来源和背景. 第二章介绍了相关的定义和性质. 第三章研究了二维H系统热流弱解的整体存在性和部分正则性.在分析能量集中的过程中,我们所采用了Lin-Wang[59]在研究调和映射热流时所采用的方法,通过构造方程的P.S.序列来分析能量集中的过程. 第四章研究了高维H系统热流解的整体存在性和部分正则性.


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