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几类结构矩阵的谱问题

曾祝明  
【摘要】: 众所周知,在工程计算和实际应用中有许多问题最终都归结为矩阵计算问题,而且不同的应用会导出一些具有特殊结构的矩阵计算.最常见的一些结构矩阵有ToepHtz矩阵|α_i-j|,Hankel矩阵|a_i+j|,Toeplitz-plus-Hankel矩阵,Cauchy矩阵[(?)]等等.处理与这些结构矩阵有关的矩阵计算问题(例如计算特征值、求解线性方程组等),若矩阵的阶数较小时,通常的经典算法是可行的(例如LU分解算法、QR算法等).然而,在许多实际应用当中,矩阵的阶数n很大(n-10~6-10~9)或某个线性方程组需要多次计算直到得到一个满意的结果(例如迭代法时),此时这些经典的算法由于代价太大而失去了实际意义. 因此,针对这些结构矩阵的特点而设计一些能利用它们的结构的,数值稳定的快速算法,具有非常重要的意义.正因为结构矩阵在实际应用中所具有的重要意义,国内外众多的学者将目光投入到这一领域.结构矩阵的快速算法中最著名的莫过于央速傅里叶变换(即FFT),有许多快速算法均是由快速傅里叶变换导出的.因此,著名数学家Charles Van Loan曾这样评价快速傅里叶变换算法:“从计算的角度看,快速傅里叶变换是本世纪最杰出的成就之一,毫不夸张地说,快速傅里叶变换改变了科学与工程计算的面貌,如果没有它,生活将会是另一种景象”. 本论文主要研究了实Hankel-circulant和Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解,给出了对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法和这个计算矩阵特征值算法的数值实验.理论和数值实验显示,这个快速算法是行之有效的. 第一章,我们简单介绍了研究结构矩阵快速算法的现实意义、研究概况以及常用的研究方法,同时也给出了与本论文有关的几类结构矩阵的定义及其基本性质. 第二章,我们给出了n阶对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵与一个n维向量乘积的快速算法;并利用n阶矩阵的对称性,对其实施Lanczos三对角化和QR对角化,计算出矩阵的所有特征值.该算法的计算复杂度为O(n~2 log n). 第三章,我们研究了实Hankel-circulant、Hankel-skew-circulant矩阵与Hankel矩阵的关系,并给出了它们的奇异值分解,为我们研究实Hankel-circulant矩阵、Hankel-skew-circulant矩阵的奇异值分解提供了理论基础.


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