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《厦门大学》 2009年
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求解某些特殊稀疏线性系统的数值解法

王瑞瑞  
【摘要】: 大型稀疏线性系统来源于很多应用领域,譬如流体动力学,结构分析,电磁场计算等等。将描述自然现象的偏微分方程离散后,通常就会得到一个稀疏的线性系统。这样一来,实时高效的求解大型的稀疏线性系统对整个应用问题的解决有着至关重要的作用。因此,近年来无论国内还是国外,大规模稀疏线性系统的求解算法的研究已成为大规模科学与工程计算的一个重要研究领域。进一步,由于许多实际问题产生的大规模稀疏线性系统,其系数矩阵往往都是具有某种特殊形式或者某种特殊结构,因此本文主要研究的是一些特殊形式的稀疏线性系统快速、有效的数值求解方法。全文共分为五章。 第一章介绍了大规模稀疏线性系统问题的来源、历史、发展现状以及本文所涉及的几种特殊稀疏线性系统。 在第二章,我们给出了求解大规模稀疏位移线性系统的一种增广的重新启动GMRES方法:每次重新启动时,将母系统所得到的多个误差向量添加到求解的Krylov子空间中去,在新的增广的空间中求解母系统,而子系统的解通过强行使其残量和母系统的残量平行得到。这样不仅能使我们在同一个空间中求解子母系统,还能加速求解位移线性系统重新启动GMRES方法的收敛速度,数值试验也表明这种方法的高效性。 第三章针对块三对角系统,给出了一种切频率过滤预条件子的变形。新的预条件子是建立在块三对角矩阵的一种组合分解基础上,并满足特定的过滤性质得到的,新的预条件子有着天然的并行性。我们简单分析了新的预条件子的一些性质,在实际运用中,我们将所得的新的预条件子与传统的ILU(0)按照某种乘法的形式结合起来使用。数值试验详细比较了这种新的预条件子与传统的预条件子的数值效果,给出了这种预条件子的优势和缺陷。 第四章我们给出了对于求解Sylvester方程的一种预条件的梯度迭代方法,预条件通过合理的选择两个辅助矩阵实现。这一想法可以看做为一般化线性系统的分裂迭代到Sylvester方程中来。我们在数值试验中比较了这种迭代格式和原始的迭代法,结果表明预条件的梯度迭代法在求解Sylvester方程时收敛得要更快,另外我们也通过试验数值上分析了步长参数对于算法收敛的影响。 在第五章,我们提出并且分析了对于一般鞍点问题的一种预条件子,这种预条件子是建立矩阵分裂和最近提出的一种双参数的分裂迭代技术[Z.Z Bai and G.H.Golub,IMA J.Numer.Anal.,27,(2007),pp.1-23]基础上的。我们详细分析了预条件后矩阵谱的性质,并且通过数值试验验证了我们的理论和这种预条件子的效率。
【学位授予单位】:厦门大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O241.6

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