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调和映照类的Bloch常数及Landau定理

李东征  
【摘要】:单复变函数的几何理论是复分析理论中的一个重要的研究方向,复值映照类的Bloch常数和Landau定理等单叶半径估计问题是单复变函数理论中的重要研究问题之一。调和映照作为全纯函数的推广,它在医学、电磁学、流体力学和弹性等问题以及偏微分方程、微分几何、Teichmuller空间等一些数学分支中具有广泛的应用,引起人们的关注,已成为复分析领域中一个热门的研究课题。因此对调和映照理论的研究具有重要的意义,对调和映照类的单叶性半径估计问题是调和映照理论中的重要问题之一。本文重在研究调和映照类渐进精确的Bloch常数及Landau定理等单叶性半径估计问题。 首先介绍了调和映照类的Bloch常数及Landau定理的研究背景。研究开调和映照子类的Bloch常数,运用调和映照精细化的Schwarz引理,得到用解析函数类的Bloch常数表示的渐进精确结果;研究K-拟正则调和映照类的Bloch常数,得到用参数|b1|来表示的估计,结果改进了陈怀惠和Gauthier近期发表的相应结果。 研究调和映照的Landau定理和单叶半径估计问题。结合有界单叶函数的Koebe定理和调和映照的Schwarz引理,得到Landau定理的渐进精确单叶半径估计。结论也改进了陈怀惠和Gauthier近期发表的相应结果。 研究|f|、|L(f)|及△f,三者之间有界性的蕴含关系,证明了若|L(f)|有界,则|f|必有界,而△f,未必有界;若|f|有界,则|L(f)|及△f,都未必有界;若△f,有界,则|f|和|L(f)|均有界。然后利用系数估计的方法,在规范|L(f)|有界的条件下,给出调和映照的Landau定理的渐进精确单叶性半径估计。


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