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某些调和映照的拟共形性和微分算子作用下的单叶性问题

王其文  
【摘要】:最近对单叶调和映照性质的研究受到函数论领域不少学者的关注。调和函数与解析函数不同,其实部与虚部未必满足Cauchy-Riemann方程,但有许多类似单叶函数论的重要结果,也存在不少问题有待解决。调和映照、拟共形映照和解析函数有诸多联系,也有各自的特征。例如,它们都存在单叶性问题、Bloch常数的估计、系数估计、边界条件等问题。近年来,许多学者致力于探讨单叶调和映照何时成为调和K-q.c;单叶调和映照的Bieberbach猜想、各种系数估计、偏差定理等;另外,考虑在微分算子作用下的调和映照的各种性质变化情况。可见,对调和映照性质的研究已成为复分析中一个热门的研究课题。 本文着重研究以下几个部分内容: Kalaj等作者研究定义在单位圆盘D={z‖z|1}上的调和映照类CH2(λ),本文首先找到了CH2(λ)类中的函数为调和拟共形映照的一个充分条件,给出了调和映照的解析部分、共轭解析部分的系数估计。在调和映照系数模满足一定的条件下,给出该类函数的近于凸单叶半径与星像单叶半径的精确估计,改进和推广了Kalaj等作者所得的相应结论。 其次,研究在微分算子作用下调和映照的单叶半径问题。对于定义在单位圆盘D上的单叶调和映照类SH0中,若有如下猜想成立:若f(z)还是凸的,有如下猜想成立:Kalaj等作者提出:若调和函数f(z)的系数满足上述猜想,那么它的单叶性如何?我们研究在调和函数f(z)的系数模满足猜想条件下,f(z)在微分算子L=z(?)/(?)z-z(?)/(?)z作用下的单叶半径问题,分别得到精确的单叶半径表达式。进一步,在系数模估计满足更一般表达式的条件下,我们也得到相应的精确单叶半径估计。 最后,研究调和映照f(z)的系数模满足两个著名猜想及某些系数模界限条件下,多重L算子作用于f(z)下的单叶半径估计问题,分别得到相应的精确单叶半径表达式。


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