具脉冲扰动Lotka-Volterra模型的稳定性研究

【摘要】：人们在对生态资源进行开发和利用时,会导致种群数量在某些瞬间发生很大的变化,如农民通过定期喷洒农药或者投放天敌来捕杀害虫.为了描述此类不连续变化过程,需要建立脉冲微分方程模型.脉冲微分方程能用于解释和预测生态学,信息科学,神经网络,控制系统和经济学等领域中具瞬间突变事物的发展规律,具有比连续微分方程更为丰富的性质,它能更加真实的描述许多自然现象.对脉冲微分方程系统解的有界性,持续生存性,稳定性,绝灭性和概周期解的存在性等性态的研究,具有非常重要的理论意义和现实意义.本文研究了五类具有脉冲扰动的微分方程系统.主要工作具体如下:第一章首先研究了一类具脉冲扰动的自治Logistic模型.通过对解结构的分析,得到系统解的上下界,同时证得系统的稳定性和绝灭性.我们的结论在假设无脉冲扰动时与连续系统的结论完全一致.然后再将结果推广到具时滞和脉冲扰动的非自治Logistic模型,利用脉冲微分方程比较原理,分别得到系统持久性,稳定性和绝灭性的充分性条件.同时我们也发现时滞对系统的持久性无影响,但是脉冲扰动对系统的持久性和稳定性有着重大的影响.第二章我们研究一类具非线性脉冲扰N种群Lotka-Volterra系统.首先研究了具非线性脉冲扰动Logistic自治模型.通过对脉冲扰动参数的分情况讨论,我们完整分析了解的性态,包括解的持久性,稳定性,平衡点的存在性,以及绝灭性.我们发现非线性脉冲系统比线性脉冲系统具有更为丰富的动力学行为.然后利用脉冲微分方程比较原理将结果推广到N维Lotka-Volterra系统.分别得到系统持久性,稳定性和绝灭性的充分条件,并分析了非线性脉冲扰动对种群性态的影响.我们的结论补充和完善了文献[4,44]的结果.第三章研究了一类具脉冲效应和无穷时滞的两种群Lotka-Volterra竞争系统.利用第一章的结论分别得到保证系统稳定性和绝灭性的充分性条件.当系统退化为单种群无穷时滞的系统时,我们的结论优化了文献[107]的结果,舍去了其不合理的条件,因此能更准确的解释和预测自然现象.而当不考虑无穷时滞时,我们同样讨论了系统的持久性,稳定性和绝灭性,我们弱化了文献[71]中某些的条件.最后还研究了脉冲扰动对系统稳定性的影响.第四章研究了一类具脉冲扰动纯时滞两种群Lotka-Volterra竞争模型.首先考虑了具无穷时滞Logistic脉冲系统,得到保证其解持久性和稳定性较简化的条件.然后通过脉冲微分方程比较原理,探讨两种群系统的持久性,同时也得到保证种群绝灭性的两种不同充分性条件.我们的结论表明种群的稳定性不仅与种群竞争率和增长率有关,而且与脉冲扰动系数密切相关.当不考虑脉冲扰动时,我们的结论推广了文献[79]中的结论.第五章研究了一类具脉冲效应的浮游生物植化相克时滞模型.利用脉冲微分方程比较原理,分别得到保证种群持久性、稳定性和绝灭性的充分性条件.我们的结论推广了文献[1]的相应结论.同时利用了脉冲概周期系统壳方程理论,得到了保证系统概周期解存在性的充分条件.当不考虑时滞时.我们弱化了文献[41]中的条件。