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微分不等式在若干非线性边值问题中的应用

沈建和  
【摘要】:本文运用微分不等式的技巧(或称为上下解方法),一定条件下证明几类非线性边值 问题(不带小参数)解的存在性(部分内容证到唯一性),同时运用上面部分存在性(或唯 一性)结果处理数学物理中广泛出现带小参数的几类奇摄动边值问题,得到奇摄动边值 问题解的存在性以及解的渐近估计.其内容安排如下: 第一部分,给出上、下解的概念及其“Nagumo条件”,同时给出两个二阶微分不等 式的基本结果(引用文献[1][2][12]),该基本结果第二节会用到,同时也为下面内容的自 然推广作铺垫. 第二部分,利用边界层函数法,构造两类带有高阶转向点的二阶非线性二次奇摄动 边值问题的高阶渐近解(二次奇摄动边值问题的提法来自F.A.Howes专著[12],同时运 用第一部分中引理1.4和引理1.5,得到了摄动问题解的存在性及渐近解关于精确解的误 差估计. 第三部分,首先给出三阶非线性微分方程Robin边值问题解的存在唯一性,接着运 用上述存在唯一性结果,处理带有转向点的三阶非线性Robin边值问题,得到其解的存 在唯一性以及解的渐近估计. 第四部分,利用上、下解的方法,在一定条件下得到一类三阶非线性微分方程的非 线性三点边值问题解的存在性,作为推论,讨论了一类带周期边界条件的边值问题的解 的存在性. 第五部分,利用上、下解的方法,一定条件下得到一类二阶非线性微分方程组的三 点边值问题解的存在性,同时将其结果作用于四阶微分方程的三点边值问题,推广了前 人的一些结果.作为该结果的应用,考察了一类四阶半线性奇摄动三点边值问题,得到 其解的存在性及其解的渐近估计.


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