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《南昌大学》 2015年
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力学中高阶张量的对称性研究

唐昌新  
【摘要】:对于均匀的晶体材料而言,在任意一点不同方向上的材料性质一般是不同的,但是可能在一些特别的方向上,材料的性质是相同的,即表现为具有一定的对称性。张量可以描述材料的物理性质,根据其在正交变换下的不变性,可以定义它的对称点群。若两个张量的对称点群存在一个旋转变换使它们相同,则它们是等价的,说明这两个张量具有相同的对称性。按照这种等价关系可以对描述材料性质的张量进行分类,亦即张量的对称性分类。比如弹性张量具有8类对称性,它的分类及其识别对弹性分量的实验测定、理论或数值预估来说都是非常重要且不可缺少的,是经典弹性理论的重要基础。张量的阶数越高,其对称性分类越趋复杂。在现代力学理论中,随着更多高阶张量的引入,比如四阶的弯电张量和光弹性张量,五阶的应变梯度弹性刚度张量,张量的对称性分类问题亟待解决;甚至对三阶压电张量这一通常认为会比弹性张量更简单的张量,它的对称性分类仍无定论。因此,发展有效的研究方法并厘清高阶张量的对称性分类,是发展各种力学理论的基础之一。本文基于高阶张量的正交不可约分解和偏张量的多极表示,提出了一种高阶张量对称性分类方法,其核心思想是由多极表示的单位矢量集获得各偏张量的对称点群,然后通过所有偏张量对称点群的交集确定高阶张量的对称点群。利用这种新的方法,完整分析了压电张量、弯电张量、第一应变梯度弹性刚度张量等3~5阶张量的对称性分类问题,主要的成果有:(1)建立了一种新的对称性分类方法,且新的分析方法具有清晰的几何表征,它相比于现有的代数方法更加具体,过程更易理解,对奇数阶和偶数阶张量都适用,因此更具一般性。(2)证明了任意阶数偶数阶张量最多能具有的对称性类别的一般性结论。对于四阶张量,从指标完全对称到完全不对称的所有类型,发现其对称性只有8类和12类两种可能。对弯电张量和光弹性张量做了全面的分析,包括其自然坐标系的选择和独立分量的数量。同时,证明了四阶张量的对称性分类数量与不约分解中偏张量的多重性没有关系。还提出了一种基于对称镜面的弹性张量对称性识别方法。(3)证明了任意阶数奇数阶张量能最多能具有的对称性分类的一般性结论,为后续更高奇数阶张量的对称性分析建立了一个很好的基础。对具有各种指标对称的三阶张量做了完整的对称性分类分析,明确了压电张量具有15类对称性。通过五阶张量的对称性分析首次得到了应变梯度弹性刚度张量具有28类对称性的结果以及在自然坐标系下的独立分量个数。对三阶和五阶张量,证明了它们的对称性分类和不约分解中偏张量的多重性没有关系,以及它们的分类都只有三种可能。
【学位授予单位】:南昌大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O341

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