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《东华理工大学》 2012年
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基于模型函数方法的正则化参数选取

胡彬  
【摘要】:正则化方法是否有效和成功直接依赖于正则化参数的选取.在许多不适定问题的计算中,正则化参数的选取往往是经验的或者先验的,这无论从实际计算和理论研究两个方面来说都不是令人满意的.另一方面,在反问题求解中通过不断试验来获得一个可行的正则化参数也是非常耗时的.因此若能找到有效的方法来选取正则化参数,这无疑将会大大节约计算代价,进一步提升正则化方法的效能. 本文主要研究的是利用模型函数的思想方法来确定正则化参数.首先,研究在算子与观测数据(算子方程的右端项)都非精确条件下的Tikhonov正则化方法中正则化参数的选取问题,提出了一种简单迭代法,并利用模型函数的思想方法证明了迭代序列是收敛的.其次,将正则化参数选取的L-曲线准则归结为泛函极值问题,基于模型函数的思想提出了求解所归结出的泛函极值问题的迭代算法,从而获得正则化参数的近似值.最后,对所提出的方法进行了数值模拟.具体从以下几个方面展开: 第一章介绍本文研究的内容,研究的意义,研究的技术路线与方法. 第二章综述正则化参数选取与模型函数的相关理论.包括正则化方法的基本概念,正则化参数选取的几种常用策略,模型函数的思想及常见的几种模型函数的介绍. 第三章研究在算子与观测数据(算子方程的右端项)都非精确条件下的Tikhonov正则化方法中正则化参数的选取问题,这不同于传统的只考虑观测数据为非精确的问题.我们提出了正则化参数选取的非标准广义偏差函数,基于该偏差函数给出了一种正则化参数选取的简单迭代算法,基于线性模型函数的思想方法证明了该算法的收敛性.最后,给出了数值模拟例子. 第四章研究了基于模型函数与修正的L-曲线准则的正则化参数选取问题.通过将正则化参数选取的L-曲线准则归结为泛函极值问题,从而得到修正的L-曲线准则;然后利用模型函数的思想提出了求解修正L-曲线准则的迭代算法,从而获得不适定问题的合适的正则化参数. 最后是对本文的研究作简要总结,并对下一步工作进行了展望.
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