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数的展式中一些分形集的研究

张晗玥  
【摘要】:在数的展式及相关动力系统的研究中,展式字符满足某些限制条件及动力系统的很多不变集都是分形.研究这些分形集的结构和Hausdorff维数是数论和动力系统中十分关心的问题.Schmidt’s game作为研究分形集的可数交的一个重要工具,近年来在国内外的相关研究中得到了广泛的应用.负基展式作为经典正基展式的一种推广,是最近十多年才被提出并引起关注的一类新的展式.负基展式及对应的动力系统与经典情形相比,他们的组合结构和拓扑性质都有很大差异.本论文主要研究了两个问题,一个是Schmidt的(α,β)-game关于参数a,b变化时的性质;另一个是在(-β)-变换下,轨道不稠密点所构成的集合的维数.第一章是绪论部分.主要介绍了Schmidt’s game和非整数基展式的研究背景.首先介绍了Schmidt’s game在丢番图逼近和数的展式、动力系统的轨道逼近问题中的应用,以及Schmidt的(α,β)-game关于参数a,b的已有结论.接着介绍了非整数基展式的研究背景和研究现状,并着重介绍了负基展式的研究情况以及与正基展式的比较.最后介绍了本论文的主要研究问题.第二章是预备知识,主要介绍了一些分形几何、动力系统以及数的展式的一些定义和基本性质.主要内容为Hausdorff测度和维数的定义及基本性质,符号空间的定义,几类数的展式的简单介绍,Schmidt的(α,β)-game的定义及winning集的性质.第三章主要研究了Schmidt的(α,β)-game在参数α,β变化时的性质.Schmidt在其专著中提出了(α,β)-winning集在参数a减小时是否仍然是winning的问题.这一问题由Freiling给出了否定的解答.我们从另一方向提出问题,即参数b变大时,所给集合是否仍然保持winning不变,并给出了解答.第四章主要研究了在(-β)-变换下,轨道不稠密点所组成的集合的Hausdorff维数,证明了该集合是满维的.在经典β-变换下,类似的集合总是零测满维的.但当b小于黄金分割数的倒数时,在(-β)-变换下,该集合不是零测的.第五章对论文的研究工作进行了总结,并针对已有的研究结果提出了一些可供进一步研究的问题.


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